Написать правила коротко и ясно и к ним примеры
Короткий ответ: каждое правило записывай по схеме «что это + чем отличается», а примером служит рисунок с подписанными точками и прямыми. Вот 6 правил с примерами.
1. Аксиома прямой
Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.
Пример: точки $A$ и $B$ — через них проходит единственная прямая $AB$. Второй прямой через те же $A$ и $B$ нет.
Следствие: две разные прямые имеют не более одной общей точки.
2. Пересекающиеся прямые
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.
Пример: прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Другой общей точки у них быть не может — иначе через $M$ и эту точку проходили бы две прямые, что противоречит аксиоме.
3. Параллельные прямые
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Пример: $a \parallel b$: сколько бы мы ни продолжали эти прямые, общих точек у них нет. Так же параллельны противоположные стороны прямоугольника.
4. Луч
Луч — часть прямой, ограниченная одной точкой — началом луча. Луч бесконечен в одну сторону.
Пример: луч $AB$: начало — $A$, точка $B$ задаёт направление. Записываем именно $AB$, а не $BA$: начало луча всегда на первом месте. Точка $B$ может быть и не отмечена на луче.
5. Дополнительные лучи
Два луча называются дополнительными (противоположными), если у них общее начало и они лежат на одной прямой.
Пример: на прямой $MK$ взята точка $O$ между $M$ и $K$. Лучи $OM$ и $OK$ — дополнительные: вместе они дополняют друг друга до прямой $MK$.
6. Отрезок
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками — концами отрезка.
Пример: отрезок $AB$ с концами $A$ и $B$; точка $M$ внутри него — внутренняя точка. Если концы $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$, то отрезок $AB$ пересекает $a$; если в одной — не пересекает.
Как самому выполнить похожее задание
- Назови объект и дай определение по формуле: «X называется …, если …».
- Сделай рисунок и подпиши все элементы из определения: начало луча, концы отрезка, общую точку прямых.
- Приведи пример, где условие выполняется.
- Для проверки приведи контрпример: например, лучи $AB$ и $BA$ — не одно и то же, потому что у них разные начала.
Проверка: луч $AB$ и отрезок $AB$ различаются — отрезок заканчивается в $B$, а луч идёт дальше; у параллельных прямых нет общих точек; дополнительные лучи дают в объединении всю прямую.
Обсуждение
2 сообщенияКак построить луч, дополнительный данному?сделать решение с чертежами
Короткий ответ
Нужно продлить прямую через начало луча в противоположную сторону и взять на ней любую точку по другую сторону от начала.
Построение (дан луч $OA$)
- Проведи прямую через точки $O$ и $A$ — это та самая прямая, на которой лежит луч $OA$.
- Продли её за точку $O$ (за начало луча), а не за $A$.
- Отметь на этой прямой любую точку $B$, лежащую по другую сторону от $O$, чем $A$.
- Соедини $O$ с $B$ — луч $OB$ и есть искомый дополнительный луч к лучу $OA$.
Чертёж 1 — что дано:
O A
─────●────────────●────→ луч OA
Чертёж 2 — строим прямую и точку B за началом:
B O A
──●────────●────────────●────→ прямая AB, O лежит между A и B
Чертёж 3 — результат:
B O A
──●────────●────────────●────
←── луч OB │ луч OA ──→
общее начало O
Лучи $OB$ и $OA$ — дополнительные: у них общее начало $O$, они лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Вместе они дают всю прямую $AB$.
Проверка и важные оговорки
- Общее начало обязательно: у лучей должно быть одно и то же начало $O$.
- Точка $B$ не должна лежать на луче $OA$ и не может совпадать с $O$ — иначе луч $OB$ совпадёт с $OA$.
- Точка $O$ лежит между $A$ и $B$: $\angle AOB = 180^\circ$.
- Выбор $B$ не единственный: подойдёт любая точка прямой слева от $O$, поэтому дополнительный луч к данному — единственный по направлению, но задаётся любой своей точкой.
Пример с координатной прямой
Дан луч с началом $O(0)$, проходящий через $A(5)$. Дополнительный луч — с началом $O(0)$, проходящий через $B(-3)$:
B(-3) O(0) A(5)
────●─────────●──────────●────→
луч OB │ луч OA
Мини-задание для себя
Дан луч $MN$. Построй к нему дополнительный луч. Ответ: продлить прямую $MN$ за точку $M$ и взять на ней точку $K$ слева от $M$; луч $MK$ — дополнительный к $MN$, причём $M$ лежит между $N$ и $K$.
