Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
(Небольшая пометка: это задание по алгебре, а не по литературе — но решаем.)
Принцип: произведение равно нулю
Главная идея квадратных уравнений такого вида: если левую часть удаётся записать как произведение скобок, то уравнение выполнено тогда, когда хотя бы одна скобка равна нулю:
$$(x-a)(x-b)=0 ;\Leftrightarrow; x=a \text{ или } x=b$$
Ключевые шаги
Шаг 1. Раскладываем на множители. Ищем два числа, которые в произведении дают свободный член $6$, а в сумме — коэффициент при $x$ с противоположным знаком, то есть $5$ (теорема Виета: $x_1+x_2=5$, $x_1\cdot x_2=6$).
Подходят $2$ и $3$: $2\cdot 3=6$, $2+3=5$.
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
Шаг 2. Приравниваем каждую скобку к нулю.
$$x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3$$
Шаг 3. Проверка (подставляем корни в исходное уравнение):
- $x=2$: $;4-10+6=0$ ✔
- $x=3$: $;9-15+6=0$ ✔
Универсальный способ — через дискриминант
Если числа не подбираются, работает всегда:
$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2};\Rightarrow; x_1=3,; x_2=2$$
Как действовать в похожем задании
- Убедись, что уравнение приведённое ($a=1$): тогда сразу ищи два числа по Виету — сумма $=-b$, произведение $=c$.
- Если целых чисел нет — считай $D$: при $D>0$ два корня, $D=0$ один корень, $D<0$ корней нет.
- Всегда подставляй найденные корни обратно — это ловит ошибки в знаках.
