Реши

Ниже — подробное решение по каждому заданию.

---

1. Сократите отношения

Отношение \(a:b\) можно записать как дробь \(\dfrac{a}{b}\) и сократить.

а) \(1{,}44:0{,}12\)

Уберём запятые, умножив оба числа на \(100\):

\[ 1{,}44:0{,}12=144:12. \]

Теперь разделим оба числа на \(12\):

\[ 144:12=12:1. \]

Ответ: \(12:1\).

---

б) \(\dfrac56:\dfrac{10}{9}\)

Деление заменим умножением на обратную дробь:

\[ \frac56:\frac{10}{9} =\frac56\cdot\frac{9}{10} =\frac{5\cdot9}{6\cdot10} =\frac{45}{60}. \]

Сократим на \(15\):

\[ \frac{45}{60}=\frac{3}{4}. \]

Значит,

\[ \frac56:\frac{10}{9}=3:4. \]

Ответ: \(3:4\).

---

2. Решите пропорцию

\[ (4x-3):5=(2x+7):3. \]

Запишем пропорцию в виде дробей:

\[ \frac{4x-3}{5}=\frac{2x+7}{3}. \]

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних:

\[ 3(4x-3)=5(2x+7). \]

Раскрываем скобки:

\[ 12x-9=10x+35. \]

Переносим \(10x\) влево, а \(-9\) вправо:

\[ 12x-10x=35+9, \]

\[ 2x=44, \]

\[ x=22. \]

Проверка:

\[ (4\cdot22-3):5=(88-3):5=85:5=17; \]

\[ (2\cdot22+7):3=(44+7):3=51:3=17. \]

Обе части равны \(17\), значит, \(x\) найден верно.

Ответ: \(x=22\).

---

3. Разделите число \(960\) в отношении \(3:5:8\)

Всего частей:

\[ 3+5+8=16. \]

Найдём, сколько приходится на одну часть:

\[ 960:16=60. \]

Теперь умножим число одной части на каждое число отношения:

\[ 3\cdot60=180, \]

\[ 5\cdot60=300, \]

\[ 8\cdot60=480. \]

Проверка:

\[ 180+300+480=960. \]

Ответ: \(180\), \(300\), \(480\).

---

4. Масштаб карты \(1:500\,000\)

Масштаб \(1:500\,000\) означает, что \(1\) см на карте соответствует \(500\,000\) см на местности.

На карте расстояние \(8{,}4\) см, значит, на местности:

\[ 8{,}4\cdot500\,000=4\,200\,000\text{ см}. \]

Переведём сантиметры в километры. В \(1\) м \(100\) см, в \(1\) км \(1000\) м, поэтому в \(1\) км \(100\,000\) см:

\[ 4\,200\,000\text{ см}=42\,000\text{ м}=42\text{ км}. \]

Ответ: \(42\) км.

---

5. Задача про рабочих

Сначала найдём весь объём работы в человеко-днях.

\(15\) рабочих должны были работать \(12\) дней:

\[ 15\cdot12=180 \]

человеко-дней — это вся работа.

За первые \(4\) дня работали все \(15\) рабочих:

\[ 15\cdot4=60 \]

человеко-дней было выполнено.

Осталось выполнить:

\[ 180-60=120 \]

человеко-дней.

После того как заболели \(5\) рабочих, осталось:

\[ 15-5=10 \]

рабочих.

Теперь найдём, за сколько дней \(10\) рабочих выполнят оставшиеся \(120\) человеко-дней:

\[ 120:10=12 \]

дней.

То есть после первых \(4\) дней им нужно ещё \(12\) дней. Вся работа будет закончена через:

\[ 4+12=16 \]

дней от начала.

Ответ: осталось работать \(12\) дней; всего работа будет закончена через \(16\) дней.

---

6. Задача про растворы

Нужно получить \(24\) кг раствора с концентрацией \(25\%\).

Пусть \(x\) кг — масса \(10\%\)-го раствора, а \(y\) кг — масса \(40\%\)-го раствора.

Общая масса раствора:

\[ x+y=24. \]

В новом растворе должно быть \(25\%\) соли. Найдём массу соли:

\[ 0{,}25\cdot24=6\text{ кг}. \]

Теперь составим уравнение по массе соли. В \(10\%\)-м растворе соли \(0{,}10x\), в \(40\%\)-м — \(0{,}40y\). Вместе должно получиться \(6\) кг:

\[ 0{,}10x+0{,}40y=6. \]

Так как \(x+y=24\), выразим \(y\):

\[ y=24-x. \]

Подставим в уравнение:

\[ 0{,}10x+0{,}40(24-x)=6. \]

Раскроем скобки:

\[ 0{,}10x+9{,}6-0{,}40x=6. \]

Приведём подобные:

\[ -0{,}30x+9{,}6=6, \]

\[ -0{,}30x=6-9{,}6, \]

\[ -0{,}30x=-3{,}6, \]

\[ x=12. \]

Тогда

\[ y=24-12=12. \]

Проверка:

Соли в смеси:

\[ 0{,}10\cdot12+0{,}40\cdot12=1{,}2+4{,}8=6\text{ кг}. \]

Масса всего раствора \(24\) кг, значит, концентрация:

\[ \frac{6}{24}=0{,}25=25\%. \]

Всё верно.

Ответ: нужно взять по \(12\) кг \(10\%\)-го и \(40\%\)-го растворов.