Реши уравнение

Отмеченное уравнение:
\[ 31+4|4-x|=47. \]

Ответ: \(x=0\) или \(x=8\), то есть \(\{0;\,8\}\).

Решение по шагам

1. Перенесём \(31\) в правую часть: \[ 4|4-x|=47-31 \] \[ 4|4-x|=16 \]

2. Разделим обе части на \(4\): \[ |4-x|=4 \]

3. Модуль числа равен \(4\), когда само выражение равно \(4\) или \(-4\): \[ 4-x=4 \quad \text{или} \quad 4-x=-4 \]

4. Решаем оба случая: \[ 4-x=4 \Rightarrow x=0 \] \[ 4-x=-4 \Rightarrow x=8 \]

Проверка

При \(x=0\): \[ 31+4|4-0|=31+16=47 \]

При \(x=8\): \[ 31+4|4-8|=31+4\cdot4=47 \]

Оба корня подходят.

Принцип: уравнение \(|A|=b\) при \(b>0\) решается двумя случаями: \(A=b\) и \(A=-b\). Если \(b<0\), решений нет; если \(b=0\), решение одно.