2.57
Кратко:
а) \(1, 2, 5, 10\)
б) \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
в) \(1\)
Как рассуждать
Все общие делители — это все делители наибольшего общего делителя чисел.
- Раскладываем числа на простые множители.
- Берём общие простые множители в наименьших степенях — получаем НОД.
- Выписываем все делители этого НОД.
а) \(20\) и \(70\)
\[ 20=2^2\cdot 5,\qquad 70=2\cdot 5\cdot 7 \]
Общие множители: \(2\) и \(5\), поэтому
\[ \text{НОД}(20,70)=2\cdot 5=10 \]
Делители числа \(10\):
\[
1,\ 2,\ 5,\ 10
\]
Ответ: \(1, 2, 5, 10\).
б) \(36,\ 48,\ 144\)
\[ 36=2^2\cdot 3^2 \] \[ 48=2^4\cdot 3 \] \[ 144=2^4\cdot 3^2 \]
Берём общие множители в наименьших степенях:
\[ \text{НОД}(36,48,144)=2^2\cdot 3=12 \]
Делители числа \(12\):
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12 \]
Ответ: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
в) \(22\) и \(105\)
\[ 22=2\cdot 11 \] \[ 105=3\cdot 5\cdot 7 \]
Общих простых множителей нет, значит
\[ \text{НОД}(22,105)=1 \]
Единственный общий делитель — \(1\).
Проверка
- В пункте а) \(10\) делит и \(20\), и \(70\); все числа \(1,2,5,10\) им подходят.
- В пункте б) \(12\) делит \(36\), \(48\) и \(144\); остальные числа из списка тоже делят каждое из трёх чисел.
- В пункте в) у чисел нет общего простого множителя, поэтому кроме \(1\) общих делителей быть не может.
Обсуждение
4 сообщения2.58
Пришлите, пожалуйста, условие задания 2.58 (текст или фото) — по одному номеру я не могу точно определить, что нужно решить.
2.58
Задание 2.58. Нужно разложить числа на простые множители, найти общие множители и записать НОД — наибольшее число, на которое делятся оба числа.
а) \(36\) и \(48\)
\[ 36=2\cdot2\cdot3\cdot3 \] \[ 48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3 \]
Общие множители: \(\underline{2\cdot2\cdot3}=12\).
Ответ: \(12\).
б) \(84\) и \(96\)
\[ 84=2\cdot2\cdot3\cdot7 \] \[ 96=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3 \]
Общие множители: \(\underline{2\cdot2\cdot3}=12\).
Ответ: \(12\).
в) \(45\) и \(60\)
\[ 45=3\cdot3\cdot5 \] \[ 60=2\cdot2\cdot3\cdot5 \]
Общие множители: \(\underline{3\cdot5}=15\).
Ответ: \(15\).
г) \(72\) и \(90\)
\[ 72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3 \] \[ 90=2\cdot3\cdot3\cdot5 \]
Общие множители: \(\underline{2\cdot3\cdot3}=18\).
Ответ: \(18\).
Итог:
\[ \text{а) }12;\quad \text{б) }12;\quad \text{в) }15;\quad \text{г) }18. \]
Чтобы найти НОД, берём общие простые множители в наименьших степенях и перемножаем их.
