Реши все
На фото видны № 118–121; № 122–123 обрезаны, поэтому ниже — все видимые задания.
Краткие ответы
118.
\[
1)\ x^{3/2};\quad 2)\ a^{4/3};\quad 3)\ b^{3/4};
\]
\[
4)\ x^{-1/5};\quad 5)\ a^{1/6};\quad 6)\ b^{-3/7}.
\]
119.
\[
1)\ \sqrt[4]{x};\quad 2)\ \sqrt[5]{y^2};\quad
3)\ \sqrt[6]{a^{-5}}=\frac1{\sqrt[6]{a^5}};
\]
\[
4)\ \sqrt[3]{b^{-1}}=\frac1{\sqrt[3]{b}};\quad
5)\ \sqrt{2x};\quad
6)\ \sqrt[3]{(3b)^{-2}}=\frac1{\sqrt[3]{(3b)^2}}.
\]
120.
\[
1)\ 8;\quad 2)\ 3;\quad 3)\ 4;\quad 4)\ 27;\quad
5)\ \frac18;\quad 6)\ \frac1{27}.
\]
121.
\[
1)\ 8;\quad 2)\ 5;\quad 3)\ 3;\quad 4)\ \frac12;\quad
5)\ 49;\quad 6)\ 2.
\]
Главное правило
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n} \]
То есть индекс корня идёт в знаменатель, а степень под корнем — в числитель.
Ещё нужны свойства степеней:
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s},\qquad a^r:a^s=a^{r-s}, \] \[ (a^r)^s=a^{rs},\qquad a^{-r}=\frac1{a^r}. \]
Для чётных корней подкоренное выражение должно быть неотрицательным; при делении основание не равно нулю.
Как получены ответы
118
Например: \[ \sqrt{x^3}=x^{3/2},\qquad \sqrt[5]{x^{-1}}=x^{-1/5}. \] Минус в показателе сохраняется в числителе.
119
Здесь действие обратное: \[ y^{2/5}=\sqrt[5]{y^2},\qquad a^{-5/6}=\sqrt[6]{a^{-5}}. \] Запись \(\frac1{\sqrt[6]{a^5}}\) — то же самое, только без отрицательного показателя под корнем.
120
\[ 64^{1/2}=\sqrt{64}=8; \] \[ 27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=3; \] \[ 8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4; \] \[ 81^{3/4}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27; \] \[ 16^{-0{,}75}=16^{-3/4}=\frac1{(\sqrt[4]{16})^3}=\frac18; \] \[ 9^{-1{,}5}=9^{-3/2}=\frac1{(\sqrt9)^3}=\frac1{27}. \]
121
\[ 2^{4/5}\cdot2^{11/5}=2^{4/5+11/5}=2^3=8; \] \[ 5^{2/7}\cdot5^{5/7}=5^{7/7}=5; \] \[ 9^{2/3}:9^{1/6}=9^{2/3-1/6}=9^{1/2}=3; \] \[ 4^{1/3}:4^{5/6}=4^{1/3-5/6}=4^{-1/2}=\frac12; \] \[ (7^{-3})^{-2/3}=7^{(-3)\cdot(-2/3)}=7^2=49; \] \[ \left(\left(\frac18\right)^{1/12}\right)^{-4} =\left(\frac18\right)^{-4/12} =\left(\frac18\right)^{-1/3} =8^{1/3}=2. \]
Проверка: например, \(8^2=64\), \(3^3=27\), а \(4^{3/2}=8\); значит, вычисления в № 120 согласованы.
