Объясни системы уравнений метод подстановки и сложения
Коротко:
- Метод подстановки: из одного уравнения выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение.
- Метод сложения: умножаем уравнения на числа так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складываем уравнения — эта переменная исчезает.
1. Метод подстановки
Решим систему:
\[ \begin{cases} x+y=5,\\ 2x-y=1. \end{cases} \]
- Из первого уравнения выразим \(y\):
\[ y=5-x. \]
- Подставим во второе уравнение:
\[ 2x-(5-x)=1. \]
- Раскроем скобки и решим:
\[ 2x-5+x=1, \] \[ 3x=6, \] \[ x=2. \]
- Найдём \(y\):
\[ y=5-2=3. \]
Ответ:
\[ (2;3). \]
Проверка:
\[ 2+3=5, \] \[ 2\cdot2-3=1. \]
Всё верно.
Когда удобно: если в одном уравнении есть переменная с коэффициентом \(1\) или \(-1\), например \(x\), \(y\), \(-x\).
2. Метод сложения
Решим систему:
\[ \begin{cases} 3x+2y=12,\\ 5x-2y=4. \end{cases} \]
Здесь коэффициенты при \(y\) уже противоположны: \(+2\) и \(-2\). Поэтому просто сложим уравнения:
\[ (3x+2y)+(5x-2y)=12+4, \]
\[ 8x=16, \]
\[ x=2. \]
Теперь подставим \(x=2\) в первое уравнение:
\[ 3\cdot2+2y=12, \]
\[ 6+2y=12, \]
\[ 2y=6, \]
\[ y=3. \]
Ответ:
\[ (2;3). \]
Проверка по второму уравнению:
\[ 5\cdot2-2\cdot3=10-6=4. \]
Верно.
Если коэффициенты не противоположны, например:
\[ \begin{cases} x+y=4,\\ 3x+2y=10, \end{cases} \]
можно умножить первое уравнение на \(-2\):
\[ -2x-2y=-8. \]
Сложим со вторым:
\[ (3x+2y)+(-2x-2y)=10-8, \]
\[ x=2. \]
Дальше находим \(y\) из \(x+y=4\):
\[ 2+y=4, \]
\[ y=2. \]
Ответ:
\[ (2;2). \]
Как выбирать способ
- Подстановка удобна, когда из уравнения легко выразить переменную: коэффициент \(1\), \(-1\) или уравнение уже выражено через другую переменную.
- Сложение удобно для линейных систем, когда коэффициенты при одной переменной легко сделать противоположными.
Важные правила
- В ответе записывай пару значений в порядке \((x;y)\).
- После решения обязательно подставь найденные числа в оба исходных уравнения.
- Если при решении получилось, например, \(0=5\), решений нет. Если получилось \(0=0\), решений бесконечно много — уравнения задают одну и ту же прямую.
