Реши задание на изображении
На фото полностью видны задачи 100–109. Краткие ответы:
| № | Ответ |
|---|---|
| 100 | 28 |
| 101 | 140 |
| 102 | 180 |
| 103 | 232 |
| 104 | 171 |
| 105 | 126 |
| 106 | 201 |
| 107 | 114 |
| 108 | 8 |
| 109 | 5 |
Как понять принцип
1) Задачи 100–103: средняя линия и площадь
Если \(DE\) — средняя линия, то треугольники \(CDE\) и \(CAB\) подобны, причём коэффициент подобия
\[ k=\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}=\frac12. \]
Площади подобных фигур относятся как \(k^2\), поэтому
\[ S_{CDE}=\frac14 S_{ABC}. \]
Значит,
\[ S_{ABC}=4S_{CDE}. \]
Отсюда:
- \(100:\ 4\cdot 7=28\)
- \(101:\ 4\cdot 35=140\)
- \(102:\ 4\cdot 45=180\)
- \(103:\ 4\cdot 58=232\)
2) Задачи 104–107: треугольник у вершины и четырёхугольник
\(M\) и \(N\) — середины сторон, поэтому
\[ S_{CNM}=\frac14 S_{ABC}. \]
Четырёхугольник \(ABMN\) — это весь треугольник без маленького треугольника \(CNM\). В нём остаётся \(3\) таких «доли», значит:
\[ S_{ABMN}=3S_{CNM}. \]
Отсюда:
- \(104:\ 3\cdot 57=171\)
- \(105:\ 3\cdot 42=126\)
- \(106:\ 3\cdot 67=201\)
- \(107:\ 3\cdot 38=114\)
3) Задачи 108–109: параллельная прямая и подобие
Так как \(MN\parallel AC\), треугольники \(BMN\) и \(BAC\) подобны. Поэтому
\[ \frac{BM}{BA}=\frac{MN}{AC}. \]
Значит,
\[ BM=AB\cdot \frac{MN}{AC}, \]
а искомая часть:
\[ AM=AB-BM. \]
108:
\[ BM=24\cdot \frac{14}{21}=16, \]
\[ AM=24-16=8. \]
109:
\[ BM=9\cdot \frac{8}{18}=4, \]
\[ AM=9-4=5. \]
Проверка: отношения сторон действительно совпадают: в №108 \(\frac{16}{24}=\frac{14}{21}=\frac23\), в №109 \(\frac49=\frac{8}{18}\).
