Реши задание на изображении
Кратко:
а) \(MN\parallel BO\);
б) \(S_{BOMN}=7\).
а) Почему \(MN\parallel BO\)
Так как \(\angle ACB=90^\circ\), а \(O\) лежит на \(AC\), то
\[ OC\perp BC. \] Значит, \(BC\) — касательная к окружности в точке \(C\).\(AB\) касается окружности в точке \(N\), поэтому \(ON\perp AB\).
Прямоугольные треугольники \(OCB\) и \(ONB\) равны: у них общая гипотенуза \(OB\) и равные катеты-радиусы \(OC=ON\).
Следовательно, \[ BC=BN,\qquad \angle CBO=\angle OBN. \] В равнобедренном треугольнике \(BCN\) биссектриса \(BO\) является высотой: \[ BO\perp CN. \]\(CM\) — диаметр окружности, поэтому вписанный угол \(CNM\) прямой: \[ MN\perp CN. \]
Обе прямые \(BO\) и \(MN\) перпендикулярны \(CN\), значит, \[ \boxed{MN\parallel BO}. \]
б) Площадь \(BOMN\)
Пусть \[ AM=t,\qquad MC=3t,\qquad AC=4t. \]
Из точки \(A\) проведены касательная \(AN\) и секущая \(AC\). По теореме о касательной и секущей: \[ AN^2=AM\cdot AC=t\cdot 4t=4t^2, \] поэтому \[ AN=2t. \]
Пусть \(BC=y\). Из точки \(B\) выходят две касательные \(BC\) и \(BN\), значит, \[ BN=BC=y. \] Тогда \[ AB=AN+NB=2t+y. \]
По теореме Пифагора в треугольнике \(ABC\): \[ (4t)^2+y^2=(2t+y)^2. \] Отсюда \[ 16t^2+y^2=4t^2+4ty+y^2 \] \[ 12t^2=4ty \] \[ y=3t. \] То есть \[ BC=3t,\qquad AB=5t. \]
Теперь используем \(CN=4\). В треугольнике \(ABC\): \[ \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4t}{5t}=\frac45. \] В треугольнике \(ACN\): \[ AC=4t,\qquad AN=2t. \] По теореме косинусов: \[ CN^2=(4t)^2+(2t)^2-2\cdot 4t\cdot 2t\cdot \frac45 \] \[ 16=20t^2-\frac{64}{5}t^2 \] \[ 16=\frac{36}{5}t^2 \] \[ t^2=\frac{20}{9},\qquad t=\frac{2\sqrt5}{3}. \]
Тогда \[ MC=3t=2\sqrt5, \] \[ OC=\frac{MC}{2}=\sqrt5, \] \[ BC=3t=2\sqrt5. \]
Найдём основания трапеции \(BOMN\).
В прямоугольном треугольнике \(BOC\): \[ BO^2=BC^2+OC^2 =(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2 =20+5=25, \] \[ BO=5. \]
Треугольник \(CMN\) прямоугольный при \(N\), так как \(CM\) — диаметр: \[ MN^2=CM^2-CN^2 =(2\sqrt5)^2-4^2 =20-16=4, \] \[ MN=2. \]
Прямая \(BO\) — серединный перпендикуляр к \(CN\), поэтому расстояние между параллельными \(BO\) и \(MN\) равно половине \(CN\): \[ h=\frac{CN}{2}=2. \]
Площадь трапеции \(BOMN\): \[ S=\frac{BO+MN}{2}\cdot h =\frac{5+2}{2}\cdot 2 =7. \]
\[ \boxed{S_{BOMN}=7} \]
Обсуждение
4 сообщенияНу
Изображения в сообщении не видно — оно не прикрепилось или не загрузилось. Пришли, пожалуйста, фото задания ещё раз (или напиши условие текстом), и я решу его с объяснением.
Окружность вписана или описана?
Ни то, ни другое — она вписана в угол \(B\).
- \(BC\) касается окружности в точке \(C\), \(AB\) — в точке \(N\), значит окружность касается обеих сторон угла \(ABC\); её центр \(O\) лежит на биссектрисе этого угла (мы это как раз доказали: \(BO\) — биссектриса).
- В треугольник \(ABC\) она не вписана: к стороне \(AC\) она не касается — наоборот, \(O\) лежит на \(AC\), и сторона \(AC\) пересекает окружность по хорде \(CM\), которая является диаметром.
- Около треугольника \(ABC\) она не описана: через вершины \(A\) и \(B\) она не проходит (обе точки лежат вне окружности).
Коротко: окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) и пересекает сторону \(AC\) — это окружность, вписанная в угол \(B\).
