Реши задание на изображении
На фото полностью видны номера 337–342; №343 обрезан, поэтому его не решаю.
Краткие ответы
- 337: 1) \(6\); 2) \(3\); 3) \(2\); 4) \(\sqrt2\).
- 338: 1) \(7\); 2) нет решений; 3) \(2\).
- 339: 1) \(2\); 2) \(5\).
- 340: 1) нет решений; 2) нет решений.
- 341: 1) \(8\); 2) \(1\).
- 342: 1) \((1000;10)\); 2) \((1;9)\).
Почему так происходит
Главное правило:
\[
\log_a u+\log_a v=\log_a(uv),\qquad
\log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv,
\]
но только при \(u>0,\ v>0\). После решения обязательно проверяем ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.
337 — сумма превращается в произведение
\[ 1)\ (x-5)(x+2)=2^3=8,\quad x>5 \Rightarrow x=6; \] \[ 2)\ (x-2)(x+6)=3^2=9,\quad x>2 \Rightarrow x=3; \] \[ 3)\ (x+\sqrt3)(x-\sqrt3)=1 \Rightarrow x^2-3=1,\quad x>\sqrt3 \Rightarrow x=2; \] \[ 4)\ (x-1)(x+1)=1 \Rightarrow x^2-1=1,\quad x>1 \Rightarrow x=\sqrt2. \]
338 — разность превращается в частное
\[ 1)\ \frac{x-1}{2x-11}=2 \Rightarrow x=7; \] \[ 2)\ \frac{3x-1}{x+5}=5 \Rightarrow x=-13, \] но тогда \(3x-1<0\), то есть логарифм не существует. Решений нет.
\[ 3)\ \frac{x^3-x}{x}=3 \Rightarrow x^2-1=3. \] Корни \(\pm2\), но нужен \(x>1\), значит \(x=2\).
339
\[ 1)\ \lg(5x)+\lg\frac1{5x}=\lg1=0. \] Тогда \[ \frac12\lg(x^2+x-5)=0 \Rightarrow x^2+x-5=1, \] \[ x^2+x-6=0 \Rightarrow x=2\ \text{или}\ x=-3. \] \(x=-3\) не подходит: логарифмы \(5x\) и \(1/(5x)\) требуют \(x>0\). Ответ: \(2\).
\[ 2)\ \lg(8x)-\lg(4x)=\lg2. \] Значит \[ \frac12\lg(x^2-4x-1)=\lg2 \Rightarrow x^2-4x-1=4. \] \[ x^2-4x-5=0 \Rightarrow x=5\ \text{или}\ x=-1. \] Подходит только \(x=5\).
340 — формальный корень не проходит ОДЗ
\[ 1)\ 5x+3=7x+5 \Rightarrow x=-1, \] но при \(x=-1\) аргументы логарифмов отрицательны. Решений нет.
\[ 2)\ 3x-1=6x+8 \Rightarrow x=-3, \] тоже не подходит по ОДЗ. Решений нет.
341 — выносим общий множитель
\[
1)\ \log_7x\bigl(\log_7(x-1)-1\bigr)=0,\quad x>1.
\]
Первый множитель даёт \(x=1\), но это не входит в ОДЗ.
Второй:
\[
\log_7(x-1)=1 \Rightarrow x-1=7 \Rightarrow x=8.
\]
\[ 2)\ \log_{1/3}(3x-2)\bigl(\log_{1/2}x-1\bigr)=0,\quad x>\frac23. \] Первое: \[ 3x-2=1 \Rightarrow x=1. \] Второе: \[ \log_{1/2}x=1 \Rightarrow x=\frac12, \] но \(\frac12<\frac23\), поэтому не подходит. Ответ: \(1\).
342 — системы
\[ 1)\quad \begin{cases} \lg x-\lg y=2,\\ x-10y=900. \end{cases} \] \[ \lg\frac xy=2 \Rightarrow \frac xy=100 \Rightarrow x=100y. \] Тогда \[ 100y-10y=900 \Rightarrow y=10,\quad x=1000. \]
\[ 2)\quad \begin{cases} \log_3x+\log_3y=2,\\ x^2y-2y+9=0. \end{cases} \] \[ \log_3(xy)=2 \Rightarrow xy=9 \Rightarrow y=\frac9x. \] Подставляем: \[ x^2\cdot\frac9x-2\cdot\frac9x+9=0, \] \[ 9x-\frac{18}{x}+9=0 \Rightarrow x^2+x-2=0. \] Корни \(x=1\) и \(x=-2\); \(x>0\), значит \(x=1\), тогда \(y=9\).
Проверка для второй системы: \[ \log_31+\log_39=0+2=2, \] \[ 1^2\cdot9-2\cdot9+9=0. \]
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение текущей учебной цели, а не новое самостоятельное задание: на фото та же страница и та же тема — логарифмические уравнения. Ранее были решены №337–342, ниже начинается №343.
В №343 полностью читаются только пункты 1–3:
\[ 1)\ \log_5 x^2=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1; \]
\[ 2)\ \log_4 x^2=3 \Rightarrow x^2=4^3=64 \Rightarrow x=\pm8; \]
\[ 3)\ \log_3 x^3=0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1. \]
Пункты 4–6 у №343 обрезаны справа, а №344–345 видны не полностью. Пришлите нижнюю часть страницы целиком — продолжу решение с того места.
