Как решать дроби всех видов 7 класс

Краткий ответ

Дробь — это деление числителя на знаменатель. Отсюда почти все правила:

• сложить/вычесть можно только при одинаковом знаменателе;
• умножить — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель;
• разделить — умножить на обратную дробь;
• сокращать можно только множители, а не слагаемые;
• знаменатель не может быть равен нулю — это главное ограничение (ОДЗ).

Ниже — по видам дробей.

1. Обыкновенные дроби

Основное свойство: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}$ — от умножения числителя и знаменателя на одно число дробь не меняется. Это и сокращение, и приведение к общему знаменателю.

Сложение/вычитание — приводим к общему знаменателю (лучше к НОК):

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}.$$

Умножение:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{2\cdot 9}{3\cdot 4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.$$

Удобнее сокращать до умножения: $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, тогда $\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}=\frac{3}{2}$.

Деление — переворачиваем вторую дробь:

$$\frac{3}{5}:\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}.$$

Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби:

$$2\frac{1}{3}+1\frac{1}{2}=\frac{7}{3}+\frac{3}{2}=\frac{14}{6}+\frac{9}{6}=\frac{23}{6}=3\frac{5}{6}.$$

2. Десятичные дроби

• Сложение/вычитание — запятая под запятой (по разрядам).
• Умножение — умножаем как целые числа, а потом отделяем запятой столько знаков, сколько их в сумме у обоих множителей: $0{,}3\cdot 0{,}02=0{,}006$ (3 знака).
• Деление — сдвигаем запятую в делимом и делителе на столько знаков, чтобы делитель стал целым: $1{,}2:0{,}3=12:3=4$.
• Перевод: $0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$; $\frac{3}{8}=3:8=0{,}375$.

3. Алгебраические (рациональные) дроби — это 7 класс

Правила те же, но вместо чисел — буквы. Главное — разложить на множители и выписать ОДЗ.

Сокращение:

$$\frac{x^{2}-9}{x^{2}+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x},\quad x\neq 0,\ x\neq -3.$$

Сложение с разными знаменателями:

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{2x}{x^{2}-1},\quad x\neq \pm 1.$$

Умножение/деление — как с числами:

$$\frac{x^{2}-1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-1}=x+1,\quad x\neq -2,\ x\neq 1.$$

Полезный приём: $\dfrac{a-b}{b-a}=-1$ (меняем знак, чтобы получить общий множитель).

4. Частые ошибки

1. Сокращают слагаемые: $\frac{2+3}{2+5}\neq\frac{3}{5}$ — так нельзя, только множители.
2. Забывают про знаменатель ≠ 0 (особенно в алгебраических дробях и уравнениях).
3. При делении забывают перевернуть вторую дробь.
4. При сложении складывают знаменатели: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq\frac{2}{5}$.

Как проверить себя

• Перевести ответ в десятичную дробь и посчитать на калькуляторе: $\frac{11}{12}\approx 0{,}917$, а $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\approx 0{,}667+0{,}25=0{,}917$ ✓.
• Для деления — обратное действие: $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{5}$ ✓.
• Подставить число в исходное и полученное выражение (для алгебраических дробей — любое допустимое значение $x$).
• Проверить, что ответ несократим и все ограничения выписаны.

Если пришлёшь конкретный пример — разберём его по шагам и сверим ответ.