Найдите область определения и область значения

Кратко:

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{Функция} & D(y) & E(y)\\ \hline y=\dfrac{3}{x+5} & (-\infty;-5)\cup(-5;+\infty) & (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\\ y=\dfrac{x+7}{9} & \mathbb R & \mathbb R\\ y=\sqrt{2x} & [0;+\infty) & [0;+\infty)\\ y=\dfrac13x+7 & \mathbb R & \mathbb R\\ y=\sqrt{2x-1} & \left[\dfrac12;+\infty\right) & [0;+\infty)\\ y=3+\sqrt{x} & [0;+\infty) & [3;+\infty) \end{array} \]

Как рассуждать:

1. Дробь: знаменатель не равен нулю.
   \(x+5\ne0\), значит \(x\ne-5\).
   Значение \(y=0\) невозможно, так как числитель равен \(3\ne0\). Любое другое \(y\) получается:
   \[ y=\frac3{x+5}\ \Rightarrow\ x=\frac3y-5. \] Поэтому \(0\) исключается из области значений.

2. Линейные функции \(y=\frac{x+7}{9}\) и \(y=\frac13x+7\) определены при всех \(x\) и принимают все действительные значения:
   \[ D(y)=E(y)=\mathbb R. \]

3. Корень чётной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а сам корень даёт только \(y\ge0\).
   Для \(y=\sqrt{2x}\): \[ 2x\ge0 \Rightarrow x\ge0. \] Область значений тоже \([0;+\infty)\), потому что для любого \(y\ge0\) можно взять \(x=\frac{y^2}{2}\).

4. Для \(y=\sqrt{2x-1}\): \[ 2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge\frac12. \] Корень принимает все значения от \(0\) до \(+\infty\).

5. Для \(y=3+\sqrt{x}\): \[ x\ge0,\qquad \sqrt{x}\ge0. \] Поэтому \(y\ge3\), причём все значения от \(3\) до \(+\infty\) достигаются:
   \[ x=(y-3)^2. \]

Проверка: у корней нижняя граница включается, потому что корень может равняться нулю:
\(\sqrt{0}=0\), \(\sqrt{2\cdot\frac12-1}=0\). Для последней функции при \(x=0\) получаем \(y=3\), поэтому \(3\) входит в область значений.