Реши задание на изображении

На фото задания 6–8 (вариант 9). Решаю все.

Задание 6

\[ \begin{cases} x_1+x_2+3x_3=1,\\ 2x_1+3x_2+5x_3=2,\\ 3x_1+5x_2+8x_3=3. \end{cases} \]

Матрица системы \[ A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&3&5\\3&5&8\end{pmatrix},\qquad \det A=1\ne 0. \] Значит, решение единственное.

1) Формулы Крамера

\[ \Delta=1,\qquad \Delta_1=1,\qquad \Delta_2=0,\qquad \Delta_3=0. \]

Отсюда \[ x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=1,\qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=0,\qquad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=0. \]

Ответ задания 6: \[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=0,\quad x_3=0} \] или \[ \boxed{X=(1;0;0)^T}. \]

2) Через обратную матрицу

\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} -1&7&-4\\ -1&-1&1\\ 1&-2&1 \end{pmatrix}. \]

Тогда \[ X=A^{-1}B= \begin{pmatrix} -1&7&-4\\ -1&-1&1\\ 1&-2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}. \]

Проверка: \[ 1+0+0=1,\qquad 2\cdot1+0+0=2,\qquad 3\cdot1+0+0=3. \]

Задание 7

Однородная система: \[ \begin{cases} x_1+2x_2+x_3-x_4-x_5-x_6=0,\\ 2x_1+3x_2+2x_3-x_4-x_5=0,\\ x_1+x_2+2x_3-x_4-x_5=0,\\ -x_1-x_2-3x_3-x_4+x_5+4x_6=0. \end{cases} \]

Матрица коэффициентов после приведения: \[ \begin{pmatrix} 1&0&0&2&2&4\\ 0&1&0&-1&-1&-2\\ 0&0&1&-1&-1&-1\\ 0&0&0&-3&-1&3 \end{pmatrix}. \]

Из последней строки: \[ -3x_4-x_5+3x_6=0 \quad\Rightarrow\quad x_4=x_6-\frac{x_5}{3}. \]

Пусть \(x_5=C_1,\ x_6=C_2\). Тогда \[ \begin{cases} x_1=-\dfrac43C_1-6C_2,\\[4pt] x_2=\dfrac23C_1+3C_2,\\[4pt] x_3=\dfrac23C_1+2C_2,\\[4pt] x_4=-\dfrac13C_1+C_2,\\[4pt] x_5=C_1,\\[2pt] x_6=C_2. \end{cases} \]

Общее решение: \[ \boxed{ X=C_1 \begin{pmatrix} -\frac43\\[2pt] \frac23\\[2pt] \frac23\\[2pt] -\frac13\\[2pt] 1\\ 0 \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} -6\\ 3\\ 2\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \quad C_1,C_2\in\mathbb R. } \]

Нормальная фундаментальная система решений: \[ \boxed{ e_1= \begin{pmatrix} -\frac43\\[2pt] \frac23\\[2pt] \frac23\\[2pt] -\frac13\\[2pt] 1\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad e_2= \begin{pmatrix} -6\\ 3\\ 2\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. } \]

Она «нормальная» потому, что свободным переменным \(x_5,x_6\) поочерёдно дают значения \((1;0)\) и \((0;1)\).

Задание 8

\[ \begin{cases} x_1-2x_2+3x_3-5x_4=2,\\ 2x_1+x_2+4x_3+x_4=-3,\\ 3x_1-3x_2+8x_3-2x_4=-1,\\ 2x_1-2x_2+5x_3-12x_4=4. \end{cases} \]

Расширенная матрица: \[ \left(\begin{array}{cccc|c} 1&-2&3&-5&2\\ 2&1&4&1&-3\\ 3&-3&8&-2&-1\\ 2&-2&5&-12&4 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1&-2&3&-5&2\\ 0&2&-1&-2&0\\ 0&0&1&32&-14\\ 0&0&0&0&0 \end{array}\right). \]

Значит, \[ \operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A|B)=3<4. \] Система совместна, решений бесконечно много, свободная переменная одна.

Пусть \(x_4=t\). Тогда \[ x_3+32t=-14 \quad\Rightarrow\quad x_3=-14-32t, \] \[ 2x_2-x_3-2t=0 \quad\Rightarrow\quad x_2=-7-15t, \] \[ x_1-2x_2+3x_3-5t=2 \quad\Rightarrow\quad x_1=30+71t. \]

Ответ задания 8: \[ \boxed{ X= \begin{pmatrix} 30\\-7\\-14\\0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 71\\-15\\-32\\1 \end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb R. } \]

Проверка подстановкой в исходные уравнения даёт тождества.

Коротко о принципе

• Формулы Крамера и обратная матрица применимы, когда уравнений столько же, сколько неизвестных, и \(\det A\ne0\).
• В однородной системе фундаментальная система решений строится через свободные переменные; её размер \(n-r\), где \(r=\operatorname{rank}A\).
• В неоднородной системе сначала сравнивают ранги \(A\) и \((A|B)\): если они равны, система совместна; число свободных переменных равно \(n-r\).