Реши задание на изображении

На фото номера 702–709 — решаю все.

Краткие ответы

• 702. \(375\) см³
• 703. \(\displaystyle V=\frac13\sqrt{\frac{Q(P^2-Q^2)}{\pi}}\)
• 704. \(\displaystyle \frac{\pi H^3}{12}\)
• 705. \(100\pi\) см³ или \(240\pi\) см³ — в условии возможны два конуса
• 706. \(216^\circ\)
• 707. \(\displaystyle \frac{225\pi}{7}\) дм³
• 708. \(84\pi\) м³
• 709.
  \[ S_{\text{ос.сеч.}}=\frac{Sh}{\pi l},\qquad V=\frac{\pi h}{12}\left(\frac{3S^2}{\pi^2l^2}+l^2-h^2\right) \]

Как решать

Главные формулы конуса: \[ V=\frac13\pi r^2h,\qquad l^2=r^2+h^2,\qquad S_{\text{бок}}=\pi rl. \] Для усечённого конуса: \[ V=\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2),\qquad l^2=h^2+(R-r)^2. \]

702

Плоскость отсекает от исходного конуса маленький конус, подобный большому.
Высоты относятся как \[ \frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}=\frac25. \] Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: \[ \frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}}=\left(\frac25\right)^3. \] Значит, \[ 24=V_{\text{бол}}\cdot\frac8{125}, \] \[ V_{\text{бол}}=24\cdot\frac{125}{8}=375\text{ см}^3. \]

703

Пусть радиус основания \(r\), образующая \(l\). Тогда \[ Q=\pi r^2,\qquad P=\pi rl. \] Отсюда \[ r=\sqrt{\frac Q\pi},\qquad l=\frac{P}{\pi r}. \] Высота: \[ h=\sqrt{l^2-r^2}. \] Подставляем в \(V=\frac13\pi r^2h\): \[ V=\frac13 Qh =\frac13\sqrt{\frac{Q(P^2-Q^2)}{\pi}}. \]

704

Высота равна диаметру: \[ h=2r=H. \] Значит, \[ r=\frac H2. \] Тогда \[ V=\frac13\pi r^2h =\frac13\pi\left(\frac H2\right)^2H =\frac{\pi H^3}{12}. \]

705

Площадь осевого сечения: \[ S=\frac12\cdot 2r\cdot h=rh=60. \] Образующая: \[ l^2=r^2+h^2=13^2=169. \] Получаем систему: \[ rh=60,\qquad r^2+h^2=169. \] Подходят пары \[ (r,h)=(5;12)\quad\text{или}\quad(12;5). \] Значит: \[ V_1=\frac13\pi\cdot5^2\cdot12=100\pi, \] \[ V_2=\frac13\pi\cdot12^2\cdot5=240\pi. \] Если в учебнике неявно считают \(h>r\), то ответ \(100\pi\) см³.

706

Из объёма находим радиус: \[ 324\pi=\frac13\pi r^2\cdot12. \] \[ 324=4r^2 \quad\Rightarrow\quad r=9. \] Образующая: \[ l=\sqrt{12^2+9^2}=15. \] При развёртке боковой поверхности конуса получается сектор радиуса \(l\), а длина его дуги равна длине окружности основания: \[ 2\pi r=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi l. \] Сокращаем: \[ \frac rl=\frac{\alpha}{360^\circ}. \] \[ \alpha=360^\circ\cdot\frac{9}{15}=216^\circ. \]

707

Для развёртки боковой поверхности \[ \frac rl=\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16. \] Значит, \[ l=6r. \] Полная поверхность: \[ S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl =\pi r(r+l)=45\pi. \] \[ r(r+6r)=7r^2=45, \] \[ r^2=\frac{45}{7}. \] Высота: \[ h=\sqrt{l^2-r^2} =\sqrt{36r^2-r^2} =r\sqrt{35}. \] Объём: \[ V=\frac13\pi r^2h =\frac13\pi\cdot\frac{45}{7}\cdot15 =\frac{225\pi}{7}\text{ дм}^3. \]

708

Радиусы оснований: \[ R=6,\qquad r=3. \] Разность радиусов: \[ R-r=3. \] Высота усечённого конуса: \[ h=\sqrt{l^2-(R-r)^2} =\sqrt{25-9}=4. \] Объём: \[ V=\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2) =\frac13\pi\cdot4(36+18+9) \] \[ V=\frac{4\pi}{3}\cdot63=84\pi\text{ м}^3. \]

709

Пусть радиусы оснований \(R\) и \(r\), причём \(R>r\).
Из геометрии усечённого конуса: \[ R-r=\sqrt{l^2-h^2}. \] Площадь боковой поверхности: \[ S=\pi(R+r)l, \] поэтому \[ R+r=\frac{S}{\pi l}. \] Осевое сечение — трапеция с основаниями \(2R\), \(2r\) и высотой \(h\): \[ S_{\text{ос.сеч.}} =\frac{2R+2r}{2}\cdot h =(R+r)h =\frac{Sh}{\pi l}. \] Для объёма: \[ V=\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2). \] Обозначим \[ u=R+r,\qquad d=R-r. \] Тогда \[ R^2+Rr+r^2=\frac{3u^2+d^2}{4}. \] Поэтому \[ V=\frac{\pi h}{12}\left(3u^2+d^2\right), \] где \[ u=\frac{S}{\pi l},\qquad d^2=l^2-h^2. \] Итог: \[ V=\frac{\pi h}{12}\left(\frac{3S^2}{\pi^2l^2}+l^2-h^2\right). \]