Я здесь — давай совсем просто, без страшных слов.

1. Производная — это «наклон дороги»

Представь, что график функции — это дорога, по которой ты идёшь слева направо.

• Дорога идёт в горку — производная положительная (\(+\)).
• Дорога идёт с горки — производная отрицательная (\(-\)).
• Дорога ровная, как площадка на вершине — производная равна нулю.

Вот и весь геометрический смысл: производная показывает, куда и как круто наклонён график в данной точке. Касательная — это просто прямая, которая прикладывается к графику в этой точке и показывает его наклон.

2. Почему так?

Если в точке наклон вверх, то чуть правее график становится выше — функция растёт. Если наклон вниз, чуть правее график становится ниже — функция убывает. Поэтому:

\[ f'(x)>0 \Rightarrow \text{функция возрастает}, \qquad f'(x)<0 \Rightarrow \text{функция убывает}. \]

3. Разберём на параболе

Возьмём \(y=x^2\). Это обычная «чаша».

Её производная: \(y'=2x\).

Теперь просто подставляем числа:

• \(x=-1\): \(y'=2\cdot(-1)=-2\). Минус — функция убывает. И правда: левая сторона чаши идёт вниз.
• \(x=0\): \(y'=0\). Наклон нулевой — это самая низкая точка, «дно» чаши.
• \(x=1\): \(y'=2\cdot1=2\). Плюс — функция возрастает. Правая сторона чаши идёт вверх.

Всё сходится: слева спуск, внизу площадка, справа подъём.

4. Мини-шпаргалка

1. Нашла производную — посмотри на её знак.
2. Плюс — растёт, минус — убывает.
3. Ноль — точка, где функция перестала убывать и начала расти (или наоборот). Это вершина горки или дно ямки.

Главное: производная — это не какая-то отдельная страшная штука, а просто «наклон графика». Хочешь, разберём ещё один пример вместе — например, \(y=x^2-4x+3\), по шагам и с числовой прямой?

Понял, о чём речь. «Уравнение касательной» звучит грозно, но это та же самая идея про наклон — просто её записали формулой. Давай по шагам, на пальцах.

1. Что вообще нужно найти

У тебя есть график. Ты выбираешь на нём точку \(x_0\) и хочешь провести через неё прямую, которая в этой точке «прилипает» к графику. Это и есть касательная.

Чтобы задать прямую, нужны две вещи:

• точка, через которую она проходит;
• наклон (угловой коэффициент \(k\)).

И вот главный фокус: наклон касательной — это и есть производная:

\[ k = f'(x_0). \]

А точка — это точка графика: \((x_0;\; f(x_0))\).

2. Откуда берётся формула

Ты наверняка знаешь уравнение прямой «через точку с наклоном»:

\[ y - y_0 = k(x - x_0). \]

Подставляем \(y_0 = f(x_0)\) и \(k = f'(x_0)\):

\[ \boxed{\,y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)\,} \]

Всё. Больше в теме ничего нового нет: одна формула, а внутри неё — две вещи, которые надо посчитать.

3. Пример по шагам

Дано: \(f(x)=x^2\), точка \(x_0=3\).

Шаг 1. Значение функции: \[ f(3)=9. \]

Шаг 2. Производная и её значение в точке: \[ f'(x)=2x,\qquad f'(3)=6. \]

Шаг 3. Подставляем в формулу: \[ y = 9 + 6(x-3). \]

Шаг 4. Раскрываем скобки, как требуют в ответе: \[ y = 6x - 9. \]

Проверка (делай её всегда, это 5 секунд): подставь \(x=3\) в ответ. Должно получиться \(9\). Получается \(18-9=9\). ✅

4. Ещё один, с минусом

\(f(x)=x^2-4x+3\), точка \(x_0=0\).

• \(f(0)=3\);
• \(f'(x)=2x-4\), значит \(f'(0)=-4\);
• \(y = 3 - 4(x-0) = 3-4x\).

Наклон отрицательный — касательная идёт вниз. Это ровно то, что мы говорили про «дорогу с горки».

5. Что реально спрашивают на парах

Почти все задачи — это одно из трёх:

1. Написать уравнение касательной в данной точке → просто 4 шага выше.
2. Касательная параллельна прямой \(y = kx+b\) → приравниваешь \(f'(x_0)=k\) и ищешь \(x_0\). Наклоны совпадают — прямые параллельны.
3. Касательная параллельна оси \(Ox\) (горизонтальна) → решаешь \(f'(x_0)=0\). Это и есть точки, где функция перестаёт расти или падать.

Если видишь в задании слово «касательная» — в 90% случаев ты будешь искать \(f(x_0)\) и \(f'(x_0)\). Это твои два рабочих числа.

Пришли свой пример из конспекта (хоть фото) — разберём именно его, по этим шагам, чтобы ты увидела, что он не сложнее параболы.

Держи полную шпаргалку. Её можно распечатать и держать рядом, когда решаешь.

---

ШПАРГАЛКА: производная, касательная, монотонность

0. Главное в трёх строках

\[ f'(x_0) = \text{наклон графика в точке } x_0 \] \[ \text{Касательная: } \quad y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \] \[ f'>0 \Rightarrow \text{функция растёт}, \qquad f'<0 \Rightarrow \text{убывает} \]

---

1. Геометрический смысл

\[ f'(x_0) = k = \tan\alpha \]

• \(k\) — угловой коэффициент касательной;
• \(\alpha\) — угол наклона касательной к положительному направлению оси \(Ox\), \(0^\circ \le \alpha < 180^\circ\).

\(f'(x_0)\)	Угол \(\alpha\)	Касательная	Функция около точки
\(>0\)	острый (\(<90^\circ\))	идёт вверх	возрастает
\(<0\)	тупой (\(>90^\circ\))	идёт вниз	убывает
\(=0\)	\(0^\circ\)	горизонтальна	«площадка»: экстремум или перегиб

Полезные значения: \(f'=1 \to 45^\circ\), \(f'=-1 \to 135^\circ\), \(f'=\sqrt3 \to 60^\circ\), \(f'=\frac{1}{\sqrt3} \to 30^\circ\).

Физический смысл (для сравнения): \(s'(t) = v(t)\) — производная пути по времени есть скорость.

---

2. Таблица производных

Функция	Производная
\(C\) (число)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n x^{\,n-1}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\operatorname{tg} x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\(\operatorname{ctg} x\)	\(-\dfrac{1}{\sin^2 x}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x \ln a\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_a x\)	\(\dfrac{1}{x \ln a}\)

---

3. Правила дифференцирования

\[ (u \pm v)' = u' \pm v' \] \[ (Cu)' = C\,u' \] \[ (uv)' = u'v + uv' \] \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] \[ \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Сложная функция на примерах:

• \(\bigl((2x+3)^5\bigr)' = 5(2x+3)^4 \cdot 2\)
• \(\bigl(\sin 3x\bigr)' = 3\cos 3x\)
• \(\bigl(e^{x^2}\bigr)' = 2x\,e^{x^2}\)

---

4. Уравнение касательной — алгоритм из 4 шагов

\[ \boxed{y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)} \]

1. Найти \(f(x_0)\) — подставить \(x_0\) в саму функцию.
2. Найти \(f'(x)\) — взять производную.
3. Найти \(f'(x_0)\) — подставить \(x_0\) в производную.
4. Подставить оба числа в формулу и раскрыть скобки.

Проверка (10 секунд, всегда): подставь \(x_0\) в готовое уравнение — должно получиться \(f(x_0)\).

Пример. \(f(x)=x^2-4x+3\), \(x_0=0\):

• \(f(0)=3\);
• \(f'(x)=2x-4\), \(f'(0)=-4\);
• \(y = 3 + (-4)(x-0) = 3 - 4x\).

Проверка: при \(x=0\): \(3 = 3\) ✅

---

5. Три типа задач «на касательную»

Тип 1. Дана точка \(x_0\) → действуй по 4 шагам выше.

Тип 2. Касательная параллельна прямой \(y=kx+b\) → приравняй наклоны: \[ f'(x_0) = k \] Решаешь — находишь \(x_0\) — дальше обычные 4 шага.

Тип 3. Касательная горизонтальна (параллельна \(Ox\)) → \(f'(x_0)=0\).

Тип 4 (сложный). Касательная проходит через точку \(A(x_A;y_A)\), не лежащую на графике.

Тут \(x_0\) неизвестна. Обозначаем её \(x_0\), пишем уравнение касательной в общем виде: \[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0), \] подставляем в него координаты точки \(A\) и решаем полученное уравнение относительно \(x_0\). Каждому корню — своя касательная.

---

6. Знак производной и монотонность

Теорема (достаточное условие). Если на промежутке:

• \(f'(x) > 0\) — функция возрастает на этом промежутке;
• \(f'(x) < 0\) — функция убывает;
• \(f'(x) = 0\) во всех точках — функция постоянна.

Алгоритм исследования на монотонность:

1. Найти \(f'(x)\).
2. Найти нули производной: \(f'(x)=0\).
3. Отметить их на числовой прямой.
4. Определить знак \(f'\) на каждом промежутке (подставить любое число из промежутка).
5. Выписать промежутки возрастания (\(+\)) и убывания (\(-\)).

---

7. Экстремумы

Необходимое условие: в точке экстремума \(f'(x_0)=0\) или производная не существует (критическая точка).

Достаточное условие — смена знака:

Смена знака \(f'\)	Вывод
\(+\) → \(-\)	точка максимума
\(-\) → \(+\)	точка минимума
знак не меняется	не экстремум

Контрпример: \(y=x^3\), \(y'=3x^2\), \(y'(0)=0\), но слева и справа плюс → экстремума нет, функция возрастает всюду.

---

8. Если дан график \(y=f'(x)\) (производной!)

Что видишь на графике \(f'\)	Что происходит с \(f\)
график \(f'\) выше оси \(Ox\)	\(f\) возрастает
ниже оси \(Ox\)	\(f\) убывает
пересекает \(Ox\) и меняет знак	точка экстремума у \(f\)
касается \(Ox\), не меняя знак	экстремума нет
\(f'\) сама возрастает	\(f\) выпукла вниз

⚠️ Не путай: если на рисунке график производной, то её «горбы» — не экстремумы функции \(f\). Экстремумы \(f\) — там, где график \(f'\) пересекает ось \(Ox\).

---

9. Частые ошибки

1. Перепутать \(f(x_0)\) и \(f'(x_0)\) — это два разных числа, считай их отдельно и подписывай.
2. Ошибка в знаке скобки: правильно \((x - x_0)\), а не \((x_0 - x)\).
3. Считать, что касательная проходит через точку \(\bigl(x_0; f'(x_0)\bigr)\). Нет: через \(\bigl(x_0; f(x_0)\bigr)\).
4. Сразу писать «экстремум», если \(f'=0\). Нужна ещё смена знака.
5. Забыть проверить \(x_0\) из условия «параллельна» — подставить и убедиться, что уравнение имеет решение.
6. Определять монотонность по одной точке вместо знака на всём промежутке.

---

10. Тренажёр (ответы в конце)

1. \(f(x)=x^2-6x+5\), \(x_0=2\). Написать уравнение касательной.
2. \(f(x)=x^3\), \(x_0=-1\). То же.
3. \(f(x)=\sqrt{x}\), \(x_0=4\). То же.
4. При каком \(x_0\) касательная к \(f(x)=x^2-4x+3\) параллельна прямой \(y=2x-7\)? Написать уравнение этой касательной.
5. В каких точках касательная к \(f(x)=x^3-3x\) горизонтальна?
6. Найти промежутки возрастания и убывания \(f(x)=x^2-4x+3\), указать экстремум.
7. К \(f(x)=x^2\) проведена касательная, проходящая через точку \(A(1;0)\). Найти уравнения всех таких касательных.

Ответы

1. \(f(2)=-3,\ f'(2)=-2 \Rightarrow y=-2x+1\).
2. \(f(-1)=-1,\ f'(-1)=3 \Rightarrow y=3x+2\).
3. \(f(4)=2,\ f'(4)=\tfrac14 \Rightarrow y=\tfrac14 x+1\).
4. \(2x_0-4=2 \Rightarrow x_0=3\); \(f(3)=0\), \(f'(3)=2\) \(\Rightarrow y=2x-6\).
5. \(3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1\).
6. \(f'=2x-4\): убывает при \(x<2\), возрастает при \(x>2\); \(x=2\) — минимум, \(f(2)=-1\).
7. \(y=x_0^2+2x_0(x-x_0)\); подставляем \(A\): \(0=2x_0-x_0^2 \Rightarrow x_0=0\) или \(x_0=2\). Касательные: \(y=0\) и \(y=4x-4\).

---

Если хочешь, пришли номер задания из пары — разберём именно его по этим шагам и сверим с ответом.

Понял, убрал монотонность, экстремумы и прочее — оставляю только производную и касательную.

---

ШПАРГАЛКА №1: производная и касательная

0. Всё главное в трёх строках

\[ f'(x_0) = \text{наклон графика в точке } x_0 \] \[ f'(x_0) = k = \tan\alpha \] \[ \boxed{y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)} \]

---

1. Геометрический смысл

Производная в точке — это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику в этой точке.

\[ f'(x_0) = k = \tan\alpha \]

• \(k\) — угловой коэффициент (наклон) касательной;
• \(\alpha\) — угол наклона касательной к положительному направлению оси \(Ox\), \(0^\circ \le \alpha < 180^\circ\).

\(f'(x_0)\)	Угол \(\alpha\)	Как идёт касательная
\(>0\)	острый, меньше \(90^\circ\)	вверх вправо
\(<0\)	тупой, больше \(90^\circ\)	вниз вправо
\(=0\)	\(0^\circ\)	горизонтально, параллельно \(Ox\)
не существует	\(90^\circ\)	вертикально

Частые значения: \(f'=1 \to 45^\circ\), \(f'=-1 \to 135^\circ\), \(f'=\sqrt3 \to 60^\circ\), \(f'=\dfrac{1}{\sqrt3} \to 30^\circ\).

Одна строчка про знак (пригодится на паре): \(f'>0\) — функция растёт, \(f'<0\) — убывает. Подробно про это — отдельно, если понадобится.

---

2. Таблица производных

Функция	Производная
\(C\) (число)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n x^{\,n-1}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\operatorname{tg} x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\(\operatorname{ctg} x\)	\(-\dfrac{1}{\sin^2 x}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x \ln a\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_a x\)	\(\dfrac{1}{x \ln a}\)

---

3. Правила дифференцирования

\[ (u \pm v)' = u' \pm v' \] \[ (Cu)' = C\,u' \] \[ (uv)' = u'v + uv' \] \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] \[ \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Сложная функция — на примерах:

• \(\bigl((2x+3)^5\bigr)' = 5(2x+3)^4 \cdot 2\)
• \(\bigl(\sin 3x\bigr)' = 3\cos 3x\)
• \(\bigl(e^{x^2}\bigr)' = 2x\,e^{x^2}\)

---

4. Уравнение касательной — 4 шага

1. Найти \(f(x_0)\) — подставить \(x_0\) в саму функцию.
2. Найти \(f'(x)\) — взять производную.
3. Найти \(f'(x_0)\) — подставить \(x_0\) в производную.
4. Подставить оба числа в формулу и раскрыть скобки.

Проверка (10 секунд, всегда): подставь \(x_0\) в готовое уравнение — должно получиться \(f(x_0)\).

Пример. \(f(x)=x^2-4x+3\), \(x_0=0\):

• \(f(0)=3\);
• \(f'(x)=2x-4\), значит \(f'(0)=-4\);
• \(y = 3 + (-4)(x-0) = 3 - 4x\).

Проверка: при \(x=0\) получаем \(3=3\) ✅

Ещё пример. \(f(x)=x^2\), \(x_0=3\):

• \(f(3)=9\);
• \(f'(x)=2x\), \(f'(3)=6\);
• \(y = 9 + 6(x-3) = 6x - 9\).

Проверка: при \(x=3\): \(18-9=9\) ✅

---

5. Типы задач на касательную

Тип 1. Дана точка \(x_0\). → 4 шага из п. 4.

Тип 2. Касательная параллельна прямой \(y=kx+b\). → наклоны равны: \[ f'(x_0) = k \] Находишь \(x_0\), потом обычные 4 шага.

Тип 3. Касательная параллельна оси \(Ox\) (горизонтальна). → \(f'(x_0)=0\).

Тип 4. Касательная проходит через точку \(A(x_A;y_A)\), не лежащую на графике. → \(x_0\) неизвестна: \[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \] подставляешь в это уравнение координаты \(A\) и решаешь относительно \(x_0\). Каждому корню — своя касательная.

---

6. Частые ошибки

1. Перепутать \(f(x_0)\) и \(f'(x_0)\) — это два разных числа, считай и подписывай отдельно.
2. Знак в скобке: правильно \((x - x_0)\), а не \((x_0 - x)\).
3. Думать, что касательная проходит через \(\bigl(x_0; f'(x_0)\bigr)\). Нет — через \(\bigl(x_0; f(x_0)\bigr)\).
4. Забыть раскрыть скобки, если в ответе просят вид \(y=kx+b\).
5. В типе 2 найти \(x_0\) и остановиться — надо ещё написать саму касательную.
6. Потерять корень в типе 4 (там уравнение часто даёт два ответа).

---

7. Тренажёр (ответы ниже)

1. \(f(x)=x^2-6x+5\), \(x_0=2\). Написать уравнение касательной.
2. \(f(x)=x^3\), \(x_0=-1\). То же.
3. \(f(x)=\sqrt{x}\), \(x_0=4\). То же.
4. При каком \(x_0\) касательная к \(f(x)=x^2-4x+3\) параллельна прямой \(y=2x-7\)? Написать уравнение этой касательной.
5. В каких точках касательная к \(f(x)=x^3-3x\) горизонтальна?
6. К \(f(x)=x^2\) проведена касательная, проходящая через точку \(A(1;0)\). Найти уравнения всех таких касательных.

Ответы

1. \(f(2)=-3,\ f'(2)=-2 \Rightarrow y=-2x+1\).
2. \(f(-1)=-1,\ f'(-1)=3 \Rightarrow y=3x+2\).
3. \(f(4)=2,\ f'(4)=\tfrac14 \Rightarrow y=\tfrac14 x+1\).
4. \(2x_0-4=2 \Rightarrow x_0=3\); \(f(3)=0,\ f'(3)=2 \Rightarrow y=2x-6\).
5. \(3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1\).
6. \(y=x_0^2+2x_0(x-x_0)\); подставляем \(A\): \(0=2x_0-x_0^2 \Rightarrow x_0=0\) или \(x_0=2\). Касательные: \(y=0\) и \(y=4x-4\).

---

Пришли номер задания из пары — разберём его по шагам и сверим ответ.