Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Имеют смысл произведения
   \[ BA,\quad CD,\quad DC \] (а если учитывать квадрат матрицы, то ещё \(B^2\)).
   Например: \[ BA=\begin{pmatrix}16&20&24&18\\11&12&13&-6\end{pmatrix},\qquad CD=(-11). \]

2. Определитель: \[ \begin{vmatrix} 1&4&0&1\\ -4&2&1&3\\ 1&3&4&-3\\ 0&1&2&-2 \end{vmatrix}=-48. \]

3. Матричное уравнение: \[ X=\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}. \]

Задание 1

Матрицу \(m\times n\) можно умножить на матрицу \(n\times p\), то есть число столбцов первой должно совпадать с числом строк второй.

Размеры: \[ A_{2\times4},\qquad B_{2\times2},\qquad C_{1\times3},\qquad D_{3\times1}. \]

Поэтому имеют смысл:

• \(B_{2\times2}\cdot A_{2\times4}\) — размер \(2\times4\);
• \(C_{1\times3}\cdot D_{3\times1}\) — размер \(1\times1\);
• \(D_{3\times1}\cdot C_{1\times3}\) — размер \(3\times3\);
• если разрешать квадрат матрицы, то \(B^2\).

Считаем два произведения: \[ BA= \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4&5&6\\7&8&9&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16&20&24&18\\ 11&12&13&-6 \end{pmatrix}. \]

\[ CD= \begin{pmatrix}-5&0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\0\\8\end{pmatrix} =-5\cdot7+0\cdot0+3\cdot8 =-35+24=-11. \]

Задание 2

При прибавлении к строке другой строки, умноженной на число, определитель не меняется.

Сделаем преобразования: \[ R_2\leftarrow R_2+4R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1. \]

Получаем: \[ \begin{vmatrix} 1&4&0&1\\ -4&2&1&3\\ 1&3&4&-3\\ 0&1&2&-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&4&0&1\\ 0&18&1&7\\ 0&-1&4&-4\\ 0&1&2&-2 \end{vmatrix}. \]

Раскладываем по первому столбцу: \[ =1\cdot \begin{vmatrix} 18&1&7\\ -1&4&-4\\ 1&2&-2 \end{vmatrix}. \]

Вычисляем определитель третьего порядка: \[ 18(4\cdot(-2)-(-4)\cdot2) -1((-1)(-2)-(-4)\cdot1) +7((-1)\cdot2-4\cdot1) \] \[ =18\cdot0-1\cdot6+7\cdot(-6) =-6-42=-48. \]

Ответ: \(-48\).

Задание 3

Нужно решить уравнение \[ \begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}X= \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}. \]

Обозначим \[ M=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}. \] Её определитель: \[ \det M=2\cdot3-5\cdot1=6-5=1\ne0, \] значит, обратная матрица существует.

Для матрицы \(2\times2\) \[ M^{-1}=\frac1{\det M} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \] Поэтому \[ M^{-1}= \begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}. \]

Тогда \[ X=M^{-1} \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}. \]

Проверка: \[ \begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}. \] Всё верно.

Ответ: \[ X=\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}. \]