Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(x=0;\ 1\)
2. \(x=0;\ 2\)
3. \(x=0;\ 1\)
4. \(x=1\)

Как решать

Общий приём: заметить, что старшая степень является квадратом младшей, и сделать замену.

1. \[ 9^x-4\cdot 3^x+3=0 \] Так как \(9^x=(3^x)^2\), пусть \(t=3^x>0\): \[ t^2-4t+3=0 \] \[ (t-1)(t-3)=0 \] Значит, \(t=1\) или \(t=3\).

Возвращаемся: \[ 3^x=1 \Rightarrow x=0,\qquad 3^x=3 \Rightarrow x=1. \]

2. \[ 16^x-17\cdot 4^x+16=0 \] Пусть \(t=4^x>0\), тогда \(16^x=(4^x)^2=t^2\): \[ t^2-17t+16=0 \] \[ (t-1)(t-16)=0 \] \[ t=1 \Rightarrow 4^x=1 \Rightarrow x=0, \] \[ t=16 \Rightarrow 4^x=4^2 \Rightarrow x=2. \]

3. \[ 25^x-6\cdot 5^x+5=0 \] Пусть \(t=5^x>0\): \[ t^2-6t+5=0 \] \[ (t-1)(t-5)=0 \] \[ 5^x=1 \Rightarrow x=0,\qquad 5^x=5 \Rightarrow x=1. \]

4. \[ 64^x-8^x-56=0 \] Так как \(64^x=(8^x)^2\), пусть \(t=8^x>0\): \[ t^2-t-56=0 \] \[ (t-8)(t+7)=0 \] Корни: \(t=8\) и \(t=-7\). Но \(t=8^x>0\), поэтому \(t=-7\) не подходит.

Остаётся: \[ 8^x=8 \Rightarrow x=1. \]

Проверка: подстановка найденных \(x\) в исходные уравнения даёт верные равенства. Например, в 4): \(64^1-8^1-56=64-8-56=0\).