Реши задание на изображении
Ниже — решения всех уравнений с изображения. В двух столбцах номера 8–11 повторяются, поэтому решаю каждый столбец отдельно.
Краткий ответ
Слева (без номеров):
- \(2x^2+7x-4=0\) — \(x=-4;\ \frac12\)
- \(x(2x-3)=35\) — \(x=-\frac72;\ 5\)
- \((2x-17)(12-4x)=0\) — \(x=3;\ \frac{17}{2}\)
- \(x^2+2=4x\) — \(x=2\pm\sqrt2\)
Средний столбец:
- \(12x-9x^2=0\) — \(x=0;\ \frac43\)
- \(x^2=x\) — \(x=0;\ 1\)
- \(4x(5x+5)=0\) — \(x=0;\ -1\)
- \(3x^2-15x=0\) — \(x=0;\ 5\)
Правый столбец:
- \(x^2-12=0\) — \(x=\pm2\sqrt3\)
- \(2x^2-25=0\) — \(x=\pm\frac{5\sqrt2}{2}\)
- \(x^2+36=0\) — действительных корней нет
(если изучали комплексные числа: \(x=\pm6i\))
- \(x^2+36=0\) — действительных корней нет
- \(x^2=100\) — \(x=\pm10\)
Как это получать
1. Полное квадратное уравнение — через дискриминант
\[ ax^2+bx+c=0,\quad D=b^2-4ac,\quad x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Например: \[ 2x^2+7x-4=0 \] \[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-4)=49+32=81 \] \[ x=\frac{-7\pm9}{4} \] \[ x_1=\frac12,\quad x_2=-4. \]
2. Сначала раскрыть скобки, потом дискриминант
\[ x(2x-3)=35 \] \[ 2x^2-3x-35=0 \] \[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-35)=9+280=289 \] \[ x=\frac{3\pm17}{4} \] \[ x=5,\quad x=-\frac72. \]
3. Произведение равно нулю
Если \((2x-17)(12-4x)=0\), то хотя бы одна скобка равна нулю: \[ 2x-17=0 \Rightarrow x=\frac{17}{2}, \] \[ 12-4x=0 \Rightarrow x=3. \]
4. Выделение полного квадрата
\[ x^2+2=4x \] \[ x^2-4x+2=0 \] \[ (x-2)^2=2 \] \[ x=2\pm\sqrt2. \]
5. Неполные уравнения вида \(ax^2+bx=0\)
Выносим \(x\), но не делим на \(x\), иначе потеряем корень \(x=0\): \[ 12x-9x^2=0 \] \[ 3x(4-3x)=0 \] \[ x=0 \quad\text{или}\quad x=\frac43. \]
Аналогично: \[ x^2=x \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0;\ 1, \] \[ 4x(5x+5)=0 \Rightarrow x=0;\ -1, \] \[ 3x^2-15x=0 \Rightarrow 3x(x-5)=0 \Rightarrow x=0;\ 5. \]
6. Неполные уравнения вида \(x^2=d\)
Если \(d>0\): \[ x^2=d \Rightarrow x=\pm\sqrt d. \]
Поэтому: \[ x^2-12=0 \Rightarrow x^2=12 \Rightarrow x=\pm2\sqrt3, \] \[ 2x^2-25=0 \Rightarrow x^2=\frac{25}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{5\sqrt2}{2}, \] \[ x^2=100 \Rightarrow x=\pm10. \]
А уравнение \[ x^2+36=0 \] даёт \(x^2=-36\). Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, значит действительных корней нет.
Проверка выполняется подстановкой: например, для \(x=\frac12\) в первом уравнении: \[ 2\cdot\frac14+7\cdot\frac12-4=\frac12+\frac72-4=0. \] Подстановка подтверждает корни.
Обсуждение
2 сообщенияЭто продолжение того же задания: на изображении фрагмент уже разобранных уравнений 8–9 из предыдущего листа.
Левый столбец \[ 8.\quad 12x-9x^2=0 \] \[ 3x(4-3x)=0 \Rightarrow x=0;\quad x=\frac43. \]
\[ 9.\quad x^2=x \] \[ x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0;\ 1. \]
Правый столбец \[ 8.\quad x^2-12=0 \] \[ x^2=12 \Rightarrow x=\pm2\sqrt3. \]
\[ 9.\quad 2x^2-25=0 \] Правая часть уравнения на фото закрыта, но по предыдущему изображению это \(2x^2-25=0\): \[ 2x^2=25 \Rightarrow x^2=\frac{25}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{5\sqrt2}{2}. \]
Ответы:
- \(12x-9x^2=0\): \(0;\ \frac43\)
- \(x^2=x\): \(0;\ 1\)
- \(x^2-12=0\): \(\pm2\sqrt3\)
- \(2x^2-25=0\): \(\pm\frac{5\sqrt2}{2}\)
