Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. Координаты вершины параболы:
а) \(f(x)=x^2-6x+4\) — вершина
\[
(3;-5)
\]
б) \(f(x)=-x^2-4x+1\) — вершина
\[
(-2;5)
\]
в) \(f(x)=3x^2-12x+2\) — вершина
\[
(2;-10)
\]
2. Для функции \(f(x)=x^2-6x+4\):
- нули функции: \[ x=3-\sqrt5\approx0{,}76,\qquad x=3+\sqrt5\approx5{,}24; \]
- \(f(x)<0\) при \[ x\in(3-\sqrt5;\;3+\sqrt5); \]
- \(f(x)>0\) при \[ x\in(-\infty;\;3-\sqrt5)\cup(3+\sqrt5;\;+\infty); \]
- функция убывает при \(x\in(-\infty;3]\), возрастает при \(x\in[3;+\infty)\);
- наименьшее значение функции: \[ f_{\min}=-5 \] при \(x=3\).
Как это получается
1. Вершина параболы
Для функции \(f(x)=ax^2+bx+c\) вершина находится по формулам:
\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=f(x_0). \]
а) \(f(x)=x^2-6x+4\), значит \(a=1,\ b=-6\):
\[ x_0=-\frac{-6}{2}=3, \] \[ f(3)=9-18+4=-5. \]
Вершина: \((3;-5)\).
б) \(f(x)=-x^2-4x+1\), здесь \(a=-1,\ b=-4\):
\[ x_0=-\frac{-4}{2(-1)}=-2, \] \[ f(-2)=-4+8+1=5. \]
Вершина: \((-2;5)\).
в) \(f(x)=3x^2-12x+2\), здесь \(a=3,\ b=-12\):
\[ x_0=-\frac{-12}{2\cdot3}=2, \] \[ f(2)=12-24+2=-10. \]
Вершина: \((2;-10)\).
Проверка через полный квадрат:
\[ x^2-6x+4=(x-3)^2-5, \] \[ -x^2-4x+1=-(x+2)^2+5, \] \[ 3x^2-12x+2=3(x-2)^2-10. \]
Поэтому вершины действительно \((3;-5)\), \((-2;5)\), \((2;-10)\).
2. График и его свойства
Функция
\[ f(x)=x^2-6x+4=(x-3)^2-5 \]
— парабола с ветвями вверх и осью симметрии \(x=3\).
Для построения можно взять точки:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(4\) | \(-1\) | \(-4\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-1\) | \(4\) |
Вершина — \((3;-5)\), точки \((0;4)\) и \((6;4)\) симметричны относительно прямой \(x=3\).
Нули функции находим из уравнения:
\[ (x-3)^2-5=0, \] \[ (x-3)^2=5, \] \[ x=3\pm\sqrt5. \]
То есть
\[ x_1=3-\sqrt5\approx0{,}76,\qquad x_2=3+\sqrt5\approx5{,}24. \]
Поскольку ветви параболы направлены вверх, между корнями график лежит ниже оси \(Ox\), а вне этого промежутка — выше:
\[ f(x)<0 \quad \text{при } x\in(3-\sqrt5;\;3+\sqrt5), \] \[ f(x)>0 \quad \text{при } x\in(-\infty;\;3-\sqrt5)\cup(3+\sqrt5;\;+\infty). \]
Вершина — самая низкая точка графика, поэтому функция убывает слева от неё и возрастает справа:
\[ \text{убывает на }(-\infty;3],\qquad \text{возрастает на }[3;+\infty). \]
Наименьшее значение:
\[ f_{\min}=f(3)=-5. \]
