Реши задание на изображении
Краткий ответ
| Корни | |
|---|---|
| а) | \(y=0,\ y=\pm\sqrt6\) |
| б) | \(x=0\) |
| в) | \(x=0;\ 1{,}5;\ 2\) |
| г) | \(x=0;\ 0{,}5;\ -0{,}2\) |
| д) | \(x=2;\ \pm\frac13\) |
| е) | \(y=0;\ 1;\ \pm4\) |
| ж) | \(p=1;\ -1\) |
| з) | \(x=0;\ 3;\ \pm1\) |
Принцип (он один для всех пунктов)
- Переносим всё в левую часть, чтобы справа был \(0\).
- Раскладываем левую часть на множители: общий множитель, группировка, формулы сокращённого умножения.
- Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
- Квадратную скобку решаем через дискриминант (или по теореме Виета).
Решения по шагам
а) \(y^3-6y=0\) \[ y(y^2-6)=0 \Rightarrow y=0 \text{ или } y^2=6. \] Ответ: \(0;\ \pm\sqrt6\).
б) \(6x^4+3{,}6x^2=0\) \[ x^2(6x^2+3{,}6)=0. \] Вторая скобка всегда положительна: \(6x^2=-3{,}6\) корней нет. Ответ: \(x=0\).
в) \(x^3+3x=3{,}5x^2\) \[ x^3-3{,}5x^2+3x=0,\quad x(x^2-3{,}5x+3)=0. \] \[ D=12{,}25-12=0{,}25,\quad x=\frac{3{,}5\pm0{,}5}{2}=2;\ 1{,}5. \] Ответ: \(0;\ 1{,}5;\ 2\).
г) \(x^3-0{,}1x=0{,}3x^2\) \[ x(x^2-0{,}3x-0{,}1)=0,\quad D=0{,}09+0{,}4=0{,}49, \] \[ x=\frac{0{,}3\pm0{,}7}{2}=0{,}5;\ -0{,}2. \] Ответ: \(0;\ 0{,}5;\ -0{,}2\).
д) \(9x^3-18x^2-x+2=0\) — группировка \[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0 \Rightarrow (x-2)(9x^2-1)=0. \] Ответ: \(2;\ \pm\frac13\).
е) \(y^4-y^3-16y^2+16y=0\) \[ y^3(y-1)-16y(y-1)=0 \Rightarrow y(y-1)(y^2-16)=0. \] Ответ: \(0;\ 1;\ \pm4\).
ж) \(p^3-p^2=p-1\) \[ p^2(p-1)-(p-1)=0 \Rightarrow (p-1)(p^2-1)=0 \Rightarrow (p-1)^2(p+1)=0. \] Ответ: \(1;\ -1\).
з) \(x^4-x^2=3x^3-3x\) \[ x^4-3x^3-x^2+3x=0 \Rightarrow x^3(x-3)-x(x-3)=0, \] \[ x(x-3)(x^2-1)=0. \] Ответ: \(0;\ 3;\ \pm1\).
Проверка
Подставим \(x=\frac13\) в д): \(\frac{9}{27}-\frac{18}{9}-\frac13+2=\frac13-2-\frac13+2=0\) ✔ Подставим \(p=1\) в ж): \(1-1=1-1=0\) ✔
Главное для похожего задания: четыре члена → почти всегда группировка парами; общий множитель \(x\) или \(y\) выносится сразу и даёт корень \(0\); степени выше второй решаются только через разложение на множители.
Обсуждение
6 сообщенийна что надо разделать второе выражение в примере «в»
Коротко: второй множитель \(x^2-3{,}5x+3\) делить ни на что не нужно — он раскладывается на скобки. Делить (на \(x-2\)) можно только всё уравнение целиком — это другой, тоже верный путь.
Вариант 1 — разложить второй множитель (то, что в решении)
Корни \(x_1=1{,}5\), \(x_2=2\), старший коэффициент равен 1, поэтому
\[ x^2-3{,}5x+3=(x-1{,}5)(x-2). \]
Проверка: \((x-1{,}5)(x-2)=x^2-2x-1{,}5x+3=x^2-3{,}5x+3\) ✔ — значит, никакого лишнего множителя нет.
Как разложить без дробей (группировкой): умножаем всё уравнение на 2 (не делим!), чтобы убрать \(3{,}5\):
\[ 2x^2-7x+6=0. \]
Средний коэффициент разбиваем на два слагаемых, сумма которых \(-7\), а произведение \(2\cdot6=6\): это \(-4\) и \(-3\).
\[ 2x^2-4x-3x+6=2x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(2x-3). \]
Отсюда \(x=2\) или \(x=\frac32\).
Вариант 2 — делить всё уравнение на \(x-2\)
Если корень \(x=2\) угадан, делим всё кубическое выражение на \(x-2\):
\[ x^3-3{,}5x^2+3x=(x-2)(x^2-1{,}5x)=x(x-2)(x-1{,}5). \]
Ответ тот же: \(0;\ 1{,}5;\ 2\).
Правило на будущее: на скобку \((x-\text{корень})\) делят многочлен, когда степень ≥ 3 и один корень уже известен; квадратный трёхчлен просто раскладывают через корни или группировку.
откуда тогда из х3 получился х2
Коротко: потому что делим на \((x-2)\) — множитель первой степени. При делении многочлена степени 3 на многочлен степени 1 частное имеет степень \(3-1=2\), то есть начинается с \(x^2\). И это легко проверить обратным умножением: \(x\cdot x^2=x^3\).
Деление уголком по шагам
Делим \(x^3-3{,}5x^2+3x\) на \(x-2\):
Шаг 1. Старший член делимого делим на старший член делителя: \[ x^3:x=x^2 \quad\text{— вот откуда } x^2. \] Умножаем обратно: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Вычитаем: \[ (x^3-3{,}5x^2)-(x^3-2x^2)=-1{,}5x^2. \] Сносим \(+3x\), получаем \(-1{,}5x^2+3x\).
Шаг 2. Снова делим старшие члены: \[ -1{,}5x^2:x=-1{,}5x. \] Умножаем: \(-1{,}5x(x-2)=-1{,}5x^2+3x\). Вычитаем: \[ (-1{,}5x^2+3x)-(-1{,}5x^2+3x)=0. \]
Остаток \(0\), значит \[ x^3-3{,}5x^2+3x=(x-2)(x^2-1{,}5x). \]
Проверка умножением (самый надёжный способ)
\[ (x-2)(x^2-1{,}5x)=x^3-1{,}5x^2-2x^2+3x=x^3-3{,}5x^2+3x ✔ \]
Видно, что \(x^3\) получается как \(x\cdot x^2\) — поэтому в скобке и стоит \(x^2\), а не \(x^3\).
Та же причина была и в самом начале
Когда выносили \(x\) за скобку: \[ x^3-3{,}5x^2+3x=x(x^2-3{,}5x+3), \] каждое слагаемое «потеряло» одну степень, ведь мы поделили каждое на \(x\).
Правило: вынесли множитель \(x\) или разделили на \((x-a)\) — степень каждого члена падает на 1. Проверять всегда можно умножением: должно вернуться исходное выражение.
а ты можешь в «д» подробнее написать
Пункт «д»: \(9x^3-18x^2-x+2=0\) — подробно
Ответ: \(x=2;\quad x=\dfrac13;\quad x=-\dfrac13\).
Шаг 1. Почему вообще возникает идея группировки
В уравнении четыре члена, а формул для суммы четырёх степеней нет. Но если разбить их на две пары, в каждой может появиться одинаковая скобка. Смотрим на коэффициенты:
\[ 9x^3-18x^2 \quad\text{и}\quad -x+2. \]
В первой паре старший коэффициент 9, следующий \(-18\): второе число ровно в \((-2)\) раза больше первого. Во второй паре: \(-1\) и \(+2\) — то же самое отношение. Раз пропорции совпадают, общая скобка должна появиться — пробуем.
Шаг 2. Выносим множители в каждой паре
Первая пара: \[ 9x^3-18x^2=9x^2(x-2). \]
Вторая пара — здесь главная ловушка со знаком. Выносим \((-1)\): \[ -x+2=-(x-2). \] Именно поэтому в скобке получается \((x-2)\), а не \((x+2)\): если бы вынесли просто «минус перед скобкой» неправильно, знаки внутри не совпали бы.
Шаг 3. Собираем общую скобку
\[ 9x^3-18x^2-x+2=9x^2(x-2)-(x-2). \]
Теперь выносим общий множитель \((x-2)\):
\[ (x-2)(9x^2-1)=0. \]
Проверка законности вынесения: \((x-2)\cdot 9x^2-(x-2)\cdot 1=(x-2)(9x^2-1)\) ✔
Шаг 4. Решаем каждую скобку
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
\(x-2=0\Rightarrow x=2\).
\(9x^2-1=0\). Это разность квадратов, так как \(9x^2=(3x)^2\), \(1=1^2\): \[ 9x^2-1=(3x-1)(3x+1)=0, \] откуда \(3x-1=0\Rightarrow x=\frac13\) и \(3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13\).
Итог: \(x=2;\ \frac13;\ -\frac13\).
Проверка подстановкой
\(x=2\): \(9\cdot8-18\cdot4-2+2=72-72-2+2=0\) ✔ \(x=\frac13\): \(9\cdot\frac1{27}-18\cdot\frac19-\frac13+2=\frac13-2-\frac13+2=0\) ✔ \(x=-\frac13\): \(9\cdot\left(-\frac1{27}\right)-18\cdot\frac19+\frac13+2=-\frac13-2+\frac13+2=0\) ✔
Второй способ группировки (тоже правильный)
Можно группировать «крест-накрест» — первый член с третьим, второй с четвёртым:
\[ 9x^3-x-18x^2+2=x(9x^2-1)-2(9x^2-1)=(9x^2-1)(x-2). \]
Результат тот же. Значит группировка — не единственный «заученный» вариант: важно, чтобы после вынесения скобки совпали.
Третий способ — если скобка не угадывается
Можно сначала найти один корень подбором среди делителей свободного члена (\(2\)): кандидаты \(\pm1,\pm2,\pm\frac13,\pm\frac23,\pm\frac19,\pm\frac29\).
Проверяем \(x=2\) → получаем \(0\), значит \(x-2\) — множитель. Делим уголком:
\[ 9x^3-18x^2-x+2=(x-2)(9x^2-1). \]
Дальше — то же самое.
Типичные ошибки в этом пункте
- Записать \(-x+2=(x-2)\) без минуса — тогда скобки не совпадут: \(9x^2(x-2)+(x-2)=(x-2)(9x^2+1)\), и корни \(\pm\frac13\) потеряются.
- Остановиться на \((x-2)(9x^2-1)=0\) и дать только \(x=2\) — вторую скобку тоже обязательно решать.
- Решать \(9x^2-1=0\) как \(x^2=\frac19\) с одним корнем: корней два, \(x=\pm\frac13\).
- «Сократить» \(9x^2-1\) на 9 — так нельзя, это выражение, а не уравнение; делить можно обе части уравнения, но не отдельную скобку.
Вывод-приём: четыре члена → группируем пары; проверяем, совпадают ли отношения коэффициентов; выносим общий множитель, аккуратно следя за знаком; каждую полученную скобку приравниваем к нулю.
