Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).
Как решать:
Уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где
\(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
Можно решить через дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Корни:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm1}{2} \]
Отсюда:
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]
Быстрый способ — разложить на множители. Нужны два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме \(-5\). Это \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, значит хотя бы одна скобка равна нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Поэтому \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
3 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Понял, давай разберём именно этот шаг — с множителями. Там \(x\) — это по-прежнему неизвестное, мы его не «находим» в скобках, а показываем, что произведение двух скобок даёт исходное выражение.
1. Что значит запись \((x-2)(x-3)\)
Это произведение двух множителей. Раскрываем его, умножая каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй:
\[ (x-2)(x-3)=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3) \]
Считаем по частям:
- \(x\cdot x=x^2\)
- \(x\cdot(-3)=-3x\)
- \((-2)\cdot x=-2x\)
- \((-2)\cdot(-3)=6\)
Складываем:
\[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Получилось ровно исходное выражение. Поэтому знак равенства законен:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
2. Почему из произведения двух скобок следует ответ
У нас уравнение:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение двух чисел равно нулю только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Например, \(2\cdot3=6\) — не ноль; \(0\cdot3=0\) — ноль.
Значит:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
3. Как из \(x-2=0\) получается \(x=2\)
Это простое линейное уравнение. Прибавляем \(2\) к обеим частям:
\[ x-2+2=0+2 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]
Аналогично:
\[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]
4. Проверка подстановкой
Берём \(x=3\):
\[ (x-2)(x-3)=(3-2)(3-3)=1\cdot0=0 \]
Берём \(x=2\):
\[ (2-2)(2-3)=0\cdot(-1)=0 \]
Оба числа обращают уравнение в ноль, поэтому это и есть корни: \(x_1=2,\ x_2=3\).
Итог: \(x\) в скобках — это неизвестное, которое мы оставляем буквой; множители \((x-2)\) и \((x-3)\) — это «куски», каждый из которых может обнулить всё произведение. Если хочешь, разберём, как такие числа \((-2\) и \(-3)\) подбираются в похожем примере.
Сделай реферат на 3 листа про пушкина и также напиши факты об которых никто не знает
