Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Способ 1. Через дискриминант

Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\):

\[ D=b^2-4ac \]

Здесь \(a=1,\; b=-5,\; c=6\):

\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. По теореме Виета

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\):

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q \]

У нас \(p=-5,\; q=6\), значит:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6 \]

Подходят числа \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: если \(D>0\) — два корня, если \(D=0\) — один корень, если \(D<0\) — действительных корней нет. Для простых целых корней удобно сначала проверять теорему Виета.