Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как решать

Дано:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Нужно найти такие \(x\), при которых выражение равно нулю.

Способ 1. Через теорему Виета

Для уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\).

Здесь:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]

Подходят числа \(2\) и \(3\):

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6 \]

Значит:

\[ x_1=2,\quad x_2=3 \]

Способ 2. Через дискриминант

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]

То есть:

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка

Подставим \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

Подставим \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: квадратное уравнение можно решать через разложение на множители, по теореме Виета или через дискриминант. Если \(D>0\), корня два; если \(D=0\), корень один; если \(D<0\), действительных корней нет.