Реши задание на изображении
Краткий ответ:
\[
x=1,\qquad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.
\]
Как решать
Это возвратное уравнение: коэффициенты симметричны — \(1,\,-5,\,8,\,-5,\,1\). Поэтому удобно делить на \(x^2\).
\(x=0\) не является корнем, так как \(1\neq0\). Делим всё уравнение на \(x^2\): \[ x^2-5x+8-\frac5x+\frac1{x^2}=0. \]
Группируем слагаемые: \[ \left(x^2+\frac1{x^2}\right)-5\left(x+\frac1x\right)+8=0. \]
Вводим замену: \[ t=x+\frac1x. \] Тогда \[ x^2+\frac1{x^2}=t^2-2. \] Получаем квадратное уравнение: \[ t^2-2-5t+8=0, \] \[ t^2-5t+6=0, \] \[ t=2 \quad\text{или}\quad t=3. \]
Возвращаемся к \(x\):
Если \(t=2\): \[ x+\frac1x=2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0, \] \[ x=1. \]
Если \(t=3\): \[ x+\frac1x=3 \Rightarrow x^2-3x+1=0, \] \[ x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}. \]
Проверка:
При \(x=1\):
\[
1-5+8-5+1=0.
\]
Для \(x=\frac{3+\sqrt5}{2}\) имеем \(x+\frac1x=3\), поэтому \(x^2+\frac1{x^2}=3^2-2=7\), и уравнение даёт \(7-5\cdot3+8=0\). Аналогично для \(x=\frac{3-\sqrt5}{2}\).
Ответ: \[ \boxed{1;\ \frac{3-\sqrt5}{2};\ \frac{3+\sqrt5}{2}}. \]
Обсуждение
4 сообщенияМожешь записать сразу полный ответ
Да, вот полное решение уравнения:
\[ x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0 \]
\(x=0\) не является корнем. Делим на \(x^2\):
\[ x^2-5x+8-\frac5x+\frac1{x^2}=0 \]
\[ \left(x^2+\frac1{x^2}\right)-5\left(x+\frac1x\right)+8=0 \]
Пусть
\[ t=x+\frac1x, \]
тогда
\[ x^2+\frac1{x^2}=t^2-2. \]
Получаем:
\[ t^2-2-5t+8=0, \]
\[ t^2-5t+6=0, \]
\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=3. \]
- Если \(t=2\):
\[ x+\frac1x=2, \]
\[ x^2-2x+1=0, \]
\[ (x-1)^2=0, \]
\[ x=1. \]
- Если \(t=3\):
\[ x+\frac1x=3, \]
\[ x^2-3x+1=0, \]
\[ x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=1,\quad x=\frac{3-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{3+\sqrt5}{2}} \]
Корень \(x=1\) является двукратным.
Спасибо большое 🫶🏻
Пожалуйста! Рада была помочь 🫶🏻 Если нужно — могу объяснить ещё раз или разобрать похожее уравнение.
