Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Примеры того же типа (решаем по Виету)

Пример 1. $x^2 - 7x + 12 = 0$

Сумма корней $= 7$, произведение $= 12$. Подбираем: $3$ и $4$. Разложение: $(x-3)(x-4)=0$ → $x_1 = 3,\ x_2 = 4$. Проверка: $3+4=7$ ✓, $3\cdot4=12$ ✓

Пример 2. $x^2 + 2x - 15 = 0$ (внимание: произведение отрицательное — корни разных знаков)

Сумма $= -2$, произведение $= -15$. Подбираем: $-5$ и $3$. $(x+5)(x-3)=0$ → $x_1 = -5,\ x_2 = 3$. Проверка: $-5+3=-2$ ✓, $(-5)\cdot 3 = -15$ ✓

Пример 3. $x^2 - 9 = 0$ (нет члена с $x$, то есть $p = 0$)

Здесь проще без Виета: $x^2 = 9$ → $x = \pm 3$. Через Виет тоже работает: сумма $=0$, произведение $=-9$ → корни $3$ и $-3$.

Пример 4. $x^2 - 6x + 9 = 0$ (дискриминант $= 0$)

Сумма $= 6$, произведение $= 9$ → оба корня равны $3$: $(x-3)^2 = 0$, то есть $x = 3$ (один корень, он же двойной). Через дискриминант: $D = 36 - 36 = 0$, $x = \frac{6}{2} = 3$.

Пример, где перед $x^2$ не единица

Пример 5. $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Виет для неприведённого уравнения: $x_1 + x_2 = \frac{5}{2}$, $x_1\cdot x_2 = \frac{2}{2} = 1$. Корни: $2$ и $\frac{1}{2}$.

Надёжнее через дискриминант: $$D = 25 - 4\cdot2\cdot2 = 25 - 16 = 9,\qquad x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4},$$ $$x_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2},\qquad x_2 = \frac{5+3}{4} = 2.$$ Проверка для $x = 2$: $2\cdot4 - 10 + 2 = 0$ ✓

Попробуй сам (ответы внизу)

1. $x^2 - 8x + 15 = 0$
2. $x^2 + 5x + 6 = 0$
3. $x^2 - 4x - 5 = 0$
4. $x^2 - 10x + 25 = 0$
5. $3x^2 - 7x + 2 = 0$

Как быстро понять знаки корней: если произведение $q > 0$ — корни одного знака (оба положительные при сумме $>0$, оба отрицательные при сумме $<0$); если $q < 0$ — корни разных знаков.

Скажи, если нужны примеры с дробными корнями, с параметром или потренироваться на чём-то конкретном — разберём.

Коротко

Если $D < 0$, то действительных корней нет — уравнение не имеет решений в действительных числах. В ответе так и пишут: «корней нет» (или «решений нет»).

Почему так

Формула корней содержит $\sqrt{D}$: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$ Квадратного корня из отрицательного числа среди действительных чисел не существует, поэтому формула «не срабатывает». Никакого «$x = 0$» или «$x = -D$» писать нельзя — это самая частая ошибка.

Геометрический смысл. График $y = ax^2 + bx + c$ — парабола. Корни уравнения — это точки, где парабола пересекает ось $Ox$. При $D < 0$ пересечений нет: при $a > 0$ парабола целиком выше оси, при $a < 0$ — целиком ниже. Значит, выражение $ax^2+bx+c$ при всех $x$ имеет один и тот же знак (совпадающий со знаком $a$).

Примеры

Пример 1. $x^2 + 4x + 5 = 0$ $$D = 16 - 4\cdot5 = -4 < 0 \Rightarrow \text{корней нет.}$$ Проверка смысла: $x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1 > 0$ при любом $x$ — нулю не равняется никогда.

Пример 2. $x^2 + 1 = 0$ $D = 0 - 4 = -4 < 0$. Корней нет: квадрат не может быть равен $-1$.

Пример 3. $-x^2 + 2x - 5 = 0$ $$D = 4 - 4\cdot(-1)\cdot(-5) = 4 - 20 = -16 < 0.$$ Корней нет. Здесь $a < 0$, парабола целиком ниже оси: $-x^2+2x-5 = -(x-1)^2 - 4 < 0$.

Пример 4 (с ловушкой). $2x^2 - 3x + 4 = 0$ $$D = 9 - 4\cdot2\cdot4 = 9 - 32 = -23 < 0.$$ Обрати внимание: $c = 4$, а не $-4$ — знак при подстановке в $4ac$ учитывается вместе с $a$.

Если вы уже проходили комплексные числа

Тогда корни есть, но они комплексные (сопряжённые): $$x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}, \qquad i^2 = -1.$$ Для примера 1 ($x^2+4x+5=0$, $D=-4$): $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm i\sqrt{4}}{2} = -2 \pm i.$$ Теорема Виета при этом продолжает работать: сумма $(-2+i)+(-2-i) = -4$ ✓, произведение $(-2+i)(-2-i) = 4 - i^2 = 4+1 = 5$ ✓.

В обычных школьных заданиях (8–9 класс) комплексные корни не требуются — достаточно «корней нет».

Попробуй сам

Определи, есть ли корни (если да — найди их):

1. $x^2 + 6x + 11 = 0$
2. $x^2 - 4x + 4 = 0$
3. $x^2 + 3x + 5 = 0$
4. $x^2 - x - 6 = 0$
5. $5x^2 - 2x + 1 = 0$

Памятка по знаку $D$: $D > 0$ — два разных корня; $D = 0$ — один (двойной) корень $x = -\frac{b}{2a}$; $D < 0$ — действительных корней нет.

Могу дать примеры, где $D$ получается отрицательным не сразу (с дробями или с параметром), — скажи, что нужно.

Вот 5 уравнений на квадратичную логику — от просто «сложного» к совсем нестандартному. Ответов нет, только подсказка, какой приём нужен.

1. Дробно-рациональное, сводится к квадратному $$\frac{3}{x-1} - \frac{2}{x+2} = 1$$ Понадобится: общий знаменатель и ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -2$).

2. Замена переменной $$\left(x^2 + x\right)^2 - 5\left(x^2 + x\right) + 6 = 0$$ Понадобится: обозначить $t = x^2 + x$, решить два квадратных уравнения (и корни второй ступени тоже проверить).

3. Иррациональное $$\sqrt{2x + 7} = x + 2$$ Понадобится: возвести обе части в квадрат, решить квадратное и обязательно проверить найденные корни подстановкой — лишние корни появляются именно на этом шаге.

4. С модулем $$x^2 - 3|x| - 4 = 0$$ Понадобится: замена $t = |x|$, помня, что $t \geq 0$, а каждому положительному $t$ соответствуют два значения $x$.

5. С переменной в знаменателе и биквадратностью $$2x^2 + \frac{6}{x^2} = 7$$ Понадобится: умножить на $x^2$ (при $x \neq 0$), затем заменить $t = x^2$; следи, что $t > 0$.

Когда решишь — присылай свои ответы и шаги, проверю и укажу, где ошибка, если она есть. Или скажи, какое из них разобрать подробно.