Реши задание на изображении

Кратко

1. \(A_{2\times4},\ B_{2\times2},\ C_{1\times3},\ D_{3\times1}\).
   Смысл имеют произведения: \[ BA,\quad CD,\quad DC \] (а если считать и произведение матрицы на себя, то ещё \(BB\)).
2. Определитель: \[ \Delta=-48. \]
3. Матричное уравнение: \[ X=\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}. \]

Задание 1

Умножать \(X\cdot Y\) можно, если число столбцов \(X\) равно числу строк \(Y\).

• \(B_{2\times2}\cdot A_{2\times4}\) — можно, результат \(2\times4\);
• \(C_{1\times3}\cdot D_{3\times1}\) — можно, результат \(1\times1\);
• \(D_{3\times1}\cdot C_{1\times3}\) — можно, результат \(3\times3\);
• \(B_{2\times2}\cdot B_{2\times2}\) — тоже можно, результат \(2\times2\).

Например, два произведения:

\[ BA= \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&4&5&6\\7&8&9&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16&20&24&18\\ 11&12&13&-6 \end{pmatrix}. \]

\[ CD=(-5\ \ 0\ \ 3) \begin{pmatrix}7\\0\\8\end{pmatrix} =-5\cdot7+0\cdot0+3\cdot8=-11. \]

Если нужно больше:

\[ DC= \begin{pmatrix}7\\0\\8\end{pmatrix} (-5\ \ 0\ \ 3) = \begin{pmatrix} -35&0&21\\ 0&0&0\\ -40&0&24 \end{pmatrix}. \]

\[ BB= \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}8&5\\-5&3\end{pmatrix}. \]

Принцип: сначала проверяем размеры, потом умножаем строку первой матрицы на столбцы второй.

Задание 2

Раскладываем определитель по первой строке:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&4&0&1\\ -4&2&1&3\\ 1&3&4&-3\\ 0&1&2&-2 \end{vmatrix} = 1M_{11}-4M_{12}+0\cdot M_{13}-1M_{14}. \]

Нужные миноры:

\[ M_{11}=5,\qquad M_{12}=16,\qquad M_{14}=-11. \]

Тогда:

\[ \Delta=1\cdot5-4\cdot16-1\cdot(-11) =5-64+11=-48. \]

Ответ: \(\boxed{-48}\).

Задание 3

Решаем:

\[ \begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}X= \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}. \]

Обозначим

\[ M=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}. \]

Её определитель:

\[ \det M=2\cdot3-5\cdot1=1. \]

Для матрицы \(2\times2\):

\[ M^{-1}=\frac1{\det M} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \]

Значит,

\[ M^{-1}= \begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}. \]

Тогда

\[ X=M^{-1} \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}. \]

Проверка:

\[ \begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}. \]

Всё совпало.

\[ \boxed{X=\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}} \]