Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Корни уравнения: \(\boxed{x_1=2,\; x_2=3}\).
Как решать:
Для уравнения \(x^2+bx+c=0\) можно найти два числа, у которых:
- сумма равна \(-b\),
- произведение равно \(c\).
Здесь \(b=-5\), \(c=6\), значит: \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \] Подходят числа \(2\) и \(3\).
Поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \] Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос — там действительно легко запутаться. Разберём именно этот переход.
1. \(x\) — это не новая буква
Это тот же самый \(x\), который стоит в уравнении \(x^2-5x+6=0\). Это просто неизвестное число, которое мы ищем. Мы ничего нового не вводили — только переписали выражение в другом виде.
2. Что значит «разложить на множители»
Мы хотим записать \(x^2-5x+6\) в виде произведения двух скобок:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Проверим, что это действительно так, — раскроем скобки. Сначала умножим \(x\) на каждое слагаемое второй скобки, потом \(-2\) на каждое:
\[ (x-2)(x-3)=x(x-3)-2(x-3). \]
Раскрываем:
\[ = x^2-3x-2x+6 = x^2-5x+6. \]
Получили ровно исходное выражение. Значит, равенство верное при любом \(x\). Например, при \(x=10\):
\[ (10-2)(10-3)=8\cdot7=56,\qquad 10^2-5\cdot10+6=100-50+6=56. \]
Совпало.
3. Откуда берутся числа 2 и 3
Смотрим на результат раскрытия скобок:
\[ x^2-3x-2x+6. \]
Свободный член \(6\) получается как \(2\cdot3\), а коэффициент при \(x\) равен \(-5\), потому что \(-3x-2x=-5x\). Поэтому ищем два числа, у которых:
- произведение \(=6\),
- сумма \(=5\).
Это \(2\) и \(3\). Тогда скобки пишем с минусами:
\[ (x-2)(x-3). \]
4. Почему дальше приравниваем каждую скобку к нулю
У нас уравнение:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Слева произведение двух чисел (первое — \(x-2\), второе — \(x-3\)). Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, возможны два случая:
\[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2, \] \[ x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3. \]
Вот и всё: \(x\) «появился» из самого уравнения, а не откуда-то ещё.
Попробуй сам по той же схеме: \(x^2-7x+12=0\). Нужны два числа с произведением \(12\) и суммой \(7\). Если получится — напиши ответ, проверю.
