Реши задание на изображении

Ответ: 3 и 4.

• Сейчас в нашем городе светит солнце и наступила ночь;
• София разговаривает по телефону и молчит.

Ответ

Правильный вариант — третий: «они могут произойти одновременно».

Пояснение

Совместные события — это события, которые могут произойти в одном и том же опыте (в один момент времени). Одно из них не исключает другое.

Разберём варианты:

1. «Не могут произойти одновременно» — это определение несовместных событий, то есть противоположность нужному.
2. «Обязательно не произойдут одновременно» — тоже про несовместность, причём с усилением «обязательно», что здесь лишнее.
3. «Могут произойти одновременно» — верно: именно возможность совместного наступления и делает события совместными.
4. «Обязательно произойдут одновременно» — неверно: совместность означает лишь возможность, а не гарантию. Например, «выпадет орёл» и «выпадет решка»... нет, это как раз несовместные; а вот «выпадет чётное число» и «выпадет число больше 3» — совместные, хотя вовсе не обязаны случаться вместе.

Проверка

Ключевое слово — «могут», а не «обязательно». Совместность — это разрешённая возможность, поэтому подходит только третий вариант.

Это продолжение той же темы — вероятность совместных событий, поэтому решаю сразу.

Ответ

Правильный вариант — четвёртый:

\[ P(M+N)=P(M)+P(N)-P(M\cdot N) \]

Почему

Если просто сложить \(P(M)\) и \(P(N)\), то исходы, входящие одновременно в оба события (то есть \(M\cdot N\)), посчитаются дважды. Чтобы исправить двойной счёт, их вероятность один раз вычитают:

\[ P(M+N)=P(M)+P(N)-P(M\cdot N) \]

Это формула сложения вероятностей для совместных событий.

Третий вариант \(P(M+N)=P(M)+P(N)\) — это частный случай для несовместных событий, когда \(P(M\cdot N)=0\). Для совместных он неверен.

Проверка на примере

Бросаем кубик. Пусть \(M\) — «выпало чётное» (\(\{2,4,6\}\)), \(N\) — «выпало больше 3» (\(\{4,5,6\}\)).

\[ P(M)=\tfrac12,\quad P(N)=\tfrac12,\quad P(M\cdot N)=P(\{4,6\})=\tfrac13 \]

Сумма \(M+N=\{2,4,5,6\}\), значит \(P(M+N)=\tfrac46=\tfrac23\).

По формуле: \(\tfrac12+\tfrac12-\tfrac13=1-\tfrac13=\tfrac23\) — совпало. Простое сложение дало бы \(1\), что неверно.

Это продолжение той же темы — совместные события и вероятность суммы. Решаю все четыре задания.

Задание 4 — совместные события

Ответ: 1, 2, 4

• Степан гуляет и общается с друзьями — вполне возможно одновременно ✓
• Пётр ест гамбургер и пьёт кофе — можно есть и пить в один момент ✓
• Марат купается в озере и гуляет по суше — так не бывает: он либо в воде, либо на берегу ✗
• ЕГЭ сдано на «5» и работа выполнена на 100 % — эти условия друг другу не противоречат и часто совпадают ✓
• Медведь в спячке и ест обед — в спячке он не ест ✗

Задание 5

События «победил Денис», «победил Степан» и «дружба» несовместны и вместе покрывают все исходы, поэтому их вероятности в сумме дают 1:

\[ P(\text{кто-то быстрее})=1-0{,}55=0{,}45 \]

Проверка: \(\tfrac14+\tfrac15+0{,}55=0{,}25+0{,}2+0{,}55=1\) — всё сходится.

Ответ: 0,45

Задание 6

«Хотя бы одна не перегорит» — противоположное событие к «перегорят обе».

\[ P(\text{обе перегорят})=0{,}2\cdot0{,}2=0{,}04 \]

\[ P(\text{хотя бы одна не перегорит})=1-0{,}04=0{,}96 \]

Ответ: 0,96

Задание 7

Считаем через противоположное событие — «не доставит ни один магазин»:

\[ P(\text{не доставит первый})=1-0{,}82=0{,}18 \] \[ P(\text{не доставит второй})=1-0{,}87=0{,}13 \]

Магазины независимы, поэтому:

\[ P(\text{ни один не доставит})=0{,}18\cdot0{,}13=0{,}0234 \]

\[ P(\text{хотя бы один доставит})=1-0{,}0234=0{,}9766 \]

Ответ: 0,9766

Это продолжение той же темы — вероятность. Решаю задания 8–10 с картинок.

Задание 8

Золотых и серебряных вместе:

\[ 21+18=39 \]

\[ P=\frac{39}{100}=0{,}39 \]

Ответ: 0,39

Задание 9

Автоматы неисправны независимо друг от друга, поэтому вероятности перемножаются:

\[ P=0{,}05\cdot0{,}05=0{,}0025 \]

Ответ: 0,0025

Задание 10

Сначала найдём вероятность того, что Артём получит хотя бы одну пятёрку — по формуле сложения для совместных событий:

\[ P(\text{хотя бы одна})=0{,}97+0{,}91-0{,}89=0{,}99 \]

Значит, ни одной пятёрки он не получит с вероятностью:

\[ P(\text{ни одной})=1-0{,}99=0{,}01 \]

Ответ: 0,01

Проверка

• В задании 8: \(0{,}21+0{,}18=0{,}39\) — доли золотых и серебряных складываются, так как рыбка не может быть одновременно золотой и серебряной.
• В задании 9: \(0{,}05^2=0{,}0025\) — малая вероятность, что логично: обе поломки сразу редки.
• В задании 10: сумма \(0{,}97+0{,}91\) дала бы \(1{,}88>1\), поэтому обязательно вычитаем \(0{,}89\) — двойной счёт. Осталось \(0{,}99\), а «ни одной» — дополнение до единицы.