Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Корни уравнения:
\[
x_1=2,\quad x_2=3.
\]
Как это получить
Ищем два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме — \(5\). Это \(2\) и \(3\).
Поэтому квадратный трёхчлен раскладывается так: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
При \(x=2\):
\[
2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0.
\]
При \(x=3\):
\[
3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0.
\]
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос — сейчас разберём именно этот момент.
Откуда берётся \(x\) в скобках
Мы хотим записать выражение в виде произведения двух скобок:
\[ x^2-5x+6=(x-a)(x-b). \]
Раскроем правую часть по правилу умножения скобок:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-bx-ax+ab=x^2-(a+b)x+ab. \]
Сравниваем с нашим выражением \(x^2-5x+6\):
- перед \(x^2\) стоит \(1\) — совпадает;
- перед \(x\) стоит \(-5\), значит \(a+b=5\);
- свободный член равен \(6\), значит \(ab=6\).
То есть нужны два числа, сумма которых \(5\), а произведение \(6\). Это \(2\) и \(3\):
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6. \]
Значит \(a=2\), \(b=3\), и
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Почему в скобках именно \(x\), а не просто числа
Потому что \(x\) — это неизвестное число. Скобка \((x-2)\) означает: «из \(x\) вычли \(2\)». Если вместо \(x\) подставить \(2\), скобка станет нулём:
\[ 2-2=0. \]
Аналогично \((x-3)\) обращается в ноль при \(x=3\).
Проверка раскрытием скобок
Убедимся, что обратное преобразование верное:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Всё совпало.
Как это помогает решить уравнение
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2, \] \[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3. \]
Ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).
