Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как понять принцип

Решаем уравнение:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Для квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) удобно пользоваться теоремой Виета:

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q \]

Здесь:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6 \]

Нужно найти два числа, которые в сумме дают \(5\), а при умножении — \(6\). Это \(2\) и \(3\):

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6 \]

Значит, корни:

\[ x_1=2,\quad x_2=3 \]

Проверка

Можно разложить на множители:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Уравнение принимает вид:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]

Отсюда:

\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]

Подставим для проверки:

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Главная идея: если уравнение записано как \(x^2+px+q=0\), ищи два числа с суммой, равной \(-p\), и произведением, равным \(q\). Если такие числа легко подобрать, корни находятся сразу.