Номер 261и 262и 263и 265

Краткие ответы

261.
а) \(0{,}013<0{,}1004\);
б) \(-24<0{,}003\);
в) \(-3{,}24>-3{,}42\);
г) \(\frac38=0{,}375\);
д) \(-1{,}174>-1\frac7{40}\);
е) \(\frac{10}{11}<\frac{11}{12}\).

262.
а) \(1{,}009<1{,}011\);
б) \(-2{,}005>-2{,}04\);
в) \(-1\frac34=-1{,}75\);
г) \(0{,}437<\frac7{16}\).

263. Например:
а) \(10{,}01;\ 10{,}05;\ 10{,}09\);
б) \(-0{,}0009;\ -0{,}0005;\ -0{,}0001\);
в) \(-1000{,}9;\ -1000{,}5;\ -1000{,}1\);
г) \(\frac5{12};\ \frac12;\ \frac7{12}\).

265.
а) \(\frac{4a}{a+b}\) при \(a\ne \pm b\);
б) \(\frac1{x+1}\) при \(x\ne0,\ x\ne\pm1\).

Как рассуждать

261–262. Сравнение чисел

1. Отрицательное число всегда меньше положительного:
   \(-24<0{,}003\).

2. Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше:
   \(3{,}24<3{,}42\), поэтому \(-3{,}24>-3{,}42\).
   Так же \(-1{,}174>-1{,}175\), потому что \(1{,}174<1{,}175\).

3. Десятичные дроби сравниваем по разрядам, уравняв число знаков после запятой:
   \(0{,}013=0{,}0130<0{,}1004\);
   \(1{,}009<1{,}011\), так как в разряде сотых \(0<1\).

4. Обыкновенные дроби удобно перевести в десятичные, если это возможно:
   \(\frac38=0{,}375\), значит \(\frac38=0{,}375\);
   \(\frac7{16}=0{,}4375\), поэтому \(0{,}437<0{,}4375\).

   Для \(\frac{10}{11}\) и \(\frac{11}{12}\) можно сравнить с единицей:
   \[ \frac{10}{11}=1-\frac1{11},\qquad \frac{11}{12}=1-\frac1{12}. \] Так как \(\frac1{11}>\frac1{12}\), то \(1-\frac1{11}<1-\frac1{12}\), значит \(\frac{10}{11}<\frac{11}{12}\).

263. Числа между данными

Нужно взять числа, которые строго больше левого и строго меньше правого.

• Между \(10\) и \(10{,}1\) удобно добавить лишние разряды: \(10{,}01;\ 10{,}05;\ 10{,}09\).
• Между \(-0{,}001\) и \(0\): \(-0{,}0009;\ -0{,}0005;\ -0{,}0001\).
• Между \(-1001\) и \(-1000\): \(-1000{,}9;\ -1000{,}5;\ -1000{,}1\).
• Для \(\frac13\) и \(\frac23\) приведём к знаменателю \(12\): \[ \frac13=\frac4{12},\qquad \frac23=\frac8{12}. \] Между ними лежат \(\frac5{12},\ \frac6{12}=\frac12,\ \frac7{12}\).

265. Упрощение выражений

а) Используем формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Общий знаменатель: \((a-b)(a+b)\). \[ \frac{a}{a-b}+\frac{3a}{a+b}-\frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a(a+b)+3a(a-b)-2ab}{(a-b)(a+b)}. \] Раскрываем числитель: \[ a^2+ab+3a^2-3ab-2ab=4a^2-4ab=4a(a-b). \] Тогда \[ \frac{4a(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{4a}{a+b}. \] Сокращать на \(a-b\) можно при \(a\ne b\); также \(a\ne -b\).

б) Замечаем, что \(1-x=-(x-1)\): \[ \left(-\frac1x\right)\cdot\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{x}{x-1} = \left(-\frac1x\right)\cdot\frac{-(x-1)}{1+x}\cdot\frac{x}{x-1}. \] Сокращаем \(x\) и \(x-1\), минус на минус даёт плюс: \[ \frac1{1+x}. \] Здесь \(x\ne0,\ x\ne1,\ x\ne-1\).

Проверка 265: при \(a=2,\ b=1\): \[ \frac{4a}{a+b}=\frac83, \] а исходное выражение даёт \(2+2-\frac43=\frac83\). Верно.

При \(x=2\): \[ \left(-\frac12\right)\cdot\frac{-1}{3}\cdot2=\frac13, \] и \(\frac1{x+1}=\frac13\). Тоже верно.