67 реши

Кратко:
а) \(x\in(-15;\,11)\)
б) \(x\in[-3;\,4]\)
в) \(x\in\left[-\frac32;\,\frac13\right]\)
г) \(x\in\left(\frac34;\,2\right)\)

Как работает метод интервалов

1. Находим нули каждого множителя.
2. Отмечаем их на числовой прямой.
3. Определяем знак выражения на промежутках: у произведения простых линейных множителей знаки чередуются, а крайний правый знак совпадает со знаком старшего коэффициента.
4. Для строгих неравенств \(<\) и \(>\) нули не включаем, для нестрогих \(\le\) и \(\ge\) — включаем.

а) \(6(x-11)(x+15)<0\)

Множитель \(6>0\), поэтому на знак он не влияет.

Нули: \[ x=11,\qquad x=-15. \]

Старший коэффициент положителен, значит знаки:
\[ + \quad - \quad + \] на промежутках \((-\infty;-15)\), \((-15;11)\), \((11;+\infty)\).

Нужен знак «минус»: \[ x\in(-15;11). \]

б) \((x+3)(4-x)\ge 0\)

Преобразуем: \[ 4-x=-(x-4), \] поэтому \[ (x+3)(4-x)\ge 0 \] равносильно \[ (x+3)(x-4)\le 0. \]

Нули: \[ x=-3,\qquad x=4. \]

Это парабола ветвями вверх, она меньше или равна нулю между корнями. Корни включаем, потому что неравенство нестрогое: \[ x\in[-3;4]. \]

в) \((6+4x)(3x-1)\le 0\)

Нули: \[ 6+4x=0 \Rightarrow x=-\frac32, \] \[ 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13. \]

Старший коэффициент произведения: \[ 4\cdot 3=12>0, \] значит выражение отрицательно между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому корни включаем: \[ x\in\left[-\frac32;\frac13\right]. \]

г) \((4-2x)(3-4x)<0\)

Нули: \[ 4-2x=0 \Rightarrow x=2, \] \[ 3-4x=0 \Rightarrow x=\frac34. \]

Старший коэффициент: \[ (-2)\cdot(-4)=8>0. \]

Значит, выражение отрицательно между корнями. Неравенство строгое, поэтому корни не включаем: \[ x\in\left(\frac34;2\right). \]

Проверка:

• а) при \(x=0\): \(6(-11)(15)<0\) — верно;
• б) при \(x=0\): \(3\cdot4=12\ge0\) — верно;
• в) при \(x=0\): \(6\cdot(-1)=-6\le0\) — верно;
• г) при \(x=1\): \((4-2)(3-4)=2\cdot(-1)<0\) — верно.