Реши
Краткий ответ
483.
а) \(10\); б) \(\sqrt{61}\); в) \(\frac57\); г) \(16\).
484.
а) \(5\); б) \(4\sqrt2\); в) \(4\sqrt3\); г) \(2\); д) \(2\).
485.
\(\dfrac{c\sqrt3}{2}\).
486.
а) \(AD=12\); б) \(BC=2\); в) \(CD=8\).
Как решать: главный принцип
В прямоугольном треугольнике с катетами \(a,b\) и гипотенузой \(c\) работает теорема Пифагора:
\[ a^2+b^2=c^2 \]
То есть гипотенуза находится так:
\[ c=\sqrt{a^2+b^2} \]
А неизвестный катет — так:
\[ b=\sqrt{c^2-a^2} \]
Берём только положительный корень, потому что длина стороны положительна.
483. Гипотенуза по катетам
\[ c=\sqrt{a^2+b^2} \]
а)
\[
c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10
\]
б)
\[
c=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}
\]
в)
\[
c=\sqrt{\left(\frac37\right)^2+\left(\frac47\right)^2}
=\sqrt{\frac{9+16}{49}}
=\frac57
\]
г)
\[
c=\sqrt{8^2+(8\sqrt3)^2}
=\sqrt{64+192}
=\sqrt{256}=16
\]
484. Найти катет \(b\)
Используем:
\[ b=\sqrt{c^2-a^2} \]
а) \(a=12,\ c=13\)
\[ b=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5 \]
б) \(a=7,\ c=9\)
\[ b=\sqrt{81-49}=\sqrt{32}=4\sqrt2 \]
в) \(a=12,\ c=2b\)
\[ (2b)^2=12^2+b^2 \]
\[ 4b^2=144+b^2 \]
\[ 3b^2=144 \]
\[ b^2=48 \]
\[ b=4\sqrt3 \]
г) \(a=2\sqrt3,\ c=2b\)
\[ (2b)^2=(2\sqrt3)^2+b^2 \]
\[ 4b^2=12+b^2 \]
\[ 3b^2=12 \]
\[ b^2=4 \]
\[ b=2 \]
д) \(a=3b,\ c=2\sqrt{10}\)
\[ (2\sqrt{10})^2=(3b)^2+b^2 \]
\[ 40=9b^2+b^2 \]
\[ 40=10b^2 \]
\[ b^2=4 \]
\[ b=2 \]
485. Катет против угла \(60^\circ\)
В прямоугольном треугольнике с углами \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) стороны относятся как
\[ 1:\sqrt3:2 \]
Если гипотенуза равна \(c\), то:
- катет против \(30^\circ\) равен \(\frac c2\);
- катет против \(60^\circ\) равен \(\frac{c\sqrt3}{2}\).
Ответ:
\[ \boxed{\frac{c\sqrt3}{2}} \]
486. Прямоугольник
Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника, поэтому снова применяем теорему Пифагора.
а) \(AB=5,\ AC=13\). Нужно найти \(AD\).
В прямоугольнике \(AD=BC\), а треугольник \(ABC\) прямоугольный:
\[ AD=BC=\sqrt{AC^2-AB^2} \]
\[ AD=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12 \]
б) \(CD=1{,}5,\ AC=2{,}5\). В прямоугольнике \(AB=CD=1{,}5\).
\[ BC=\sqrt{AC^2-AB^2} \]
\[ BC=\sqrt{2{,}5^2-1{,}5^2} =\sqrt{6{,}25-2{,}25} =\sqrt4=2 \]
в) \(BD=17,\ BC=15\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCD\):
\[ CD=\sqrt{BD^2-BC^2} \]
\[ CD=\sqrt{17^2-15^2} =\sqrt{289-225} =\sqrt{64}=8 \]
Проверка
Для пункта 484в:
\[ 12^2+(4\sqrt3)^2=144+48=192=(8\sqrt3)^2 \]
Для 484д:
\[ 6^2+2^2=36+4=40=(2\sqrt{10})^2 \]
Всё сходится.
