Аткар тема .жөнөкөй жана ондук бөлчөктөрдү салыштыруу

Ооба, карайбыз. Кыска жооп: аралаш санды ондук бөлчөккө айландыруу үчүн бүтүн бөлүгүн өзгөртпөй жазып, бөлчөк бөлүгүнүн алымын бөлүмүнө бөлөсүң.

Кадамдар:

1. Бүтүн бөлүгүн четке белгилеп кой.
2. Бөлчөк бөлүгүнүн алымын бөлүмүнө бөл (бурчтуу бөлүү).
3. Чыккан ондук бөлчөктү бүтүн бөлүгүнүн артына үтүр аркылуу жаз.

Мисалдар:

\(2\frac{3}{5}\): \(3:5=0,6\) → \(\;2\frac{3}{5}=2,6\)

\(5\frac{7}{8}\): \(7:8=0,875\) → \(\;5\frac{7}{8}=5,875\)

\(1\frac{1}{10}\): бөлүмү 10 болгондуктан дароо → \(\;1\frac{1}{10}=1,1\)

Эскертүү: эгер бөлүү бүтпөсө (мезгилдүү бөлчөк чыкса), анда так ондук бөлчөккө айланбайт:

\(4\frac{1}{3}\): \(1:3=0,333\ldots\) → \(\;4\frac{1}{3}=4,(3)\)

Көп кетирилүүчү ката: \(2\frac{3}{5}\) деп \(2,35\) деп жазба — бул туура эмес, анткени \(\frac35=0,6\), \(0,35\) эмес.

Текшерүү: ондук бөлчөктү кайра аралаш санга айландырып көр: \(5,875=5\frac{875}{1000}=5\frac{7}{8}\) ✓

Машыгуу: \(3\frac{1}{4}\), \(7\frac{2}{5}\), \(2\frac{5}{6}\) — айландырып көр. Жооптору: \(3,25\); \(7,4\); \(2,8(3)\).

Кайра, жөнөкөйлөтүп түшүндүрөм.

Негизги идея

\(2\frac{3}{5}\) дегенибиз — 2 бүтүн жана дагы 3/5 бөлүгү.

Ондук жазуу — бул жөн гана «бүтүн + үтүрдөн кийинки бөлүк». Демек бизге \(\frac{3}{5}\) бөлүгү канча экенин билүү жетиштүү. Аны табуу үчүн алымын бөлүмүнө бөлөбүз: \(3:5\).

1-мисал: \(2\frac{3}{5}\)

1-кадам. Бөлчөк бөлүгүн бөлөбүз:

\(3:5\) — 3тү 5ке бүтүн бөлсөк болбойт, анткени 3 < 5. Ошондуктан бүтүн бөлүгү \(0\), ал эми 3тү «30 ондук үлүш» деп эсептейбиз:

\(30:5=6\)

Демек \(\frac{3}{5}=0,6\).

2-кадам. Бүтүн бөлүгүн кошобуз:

\(2+0,6=2,6\)

Жооп: \(2\frac{3}{5}=2,6\)

2-мисал: \(1\frac{1}{4}\)

\(\frac14\): \(1:4\) → 1 < 4, ошондуктан \(10:4=2\) (калдык 2), анан \(20:4=5\) → \(0,25\).

\(1+0,25=\) \(1,25\)

Эмне үчүн \(2\frac{3}{5}\neq 2,35\)?

Бул эң көп кетирилүүчү ката. Салыштырып көр:

• \(2,35\) дегени — \(2\) бүтүн жана \(35\) жүздүк, башкача айтканда \(2+\frac{35}{100}=2\frac{7}{20}\). Бул биздин бөлчөгүбүз эмес!
• Ал эми бизде \(\frac35\) бар, ал \(\frac{6}{10}\), тагыраак айтканда \(0,6\).

Үтүрдөн кийинки сандар бөлүүнүн натыйжасы, алымды сөзмө-сөз көчүрүү эмес. 🙂

Эреже (жаттап ал)

\[ a\frac{b}{c}=a+b:c \]

Текшерүү ыкмасы

Ондук бөлчөктү кайра аралаш санга айландырып көр:

\(2,6=2\frac{6}{10}=2\frac{3}{5}\) ✓ — туура чыкты.

Машыгуу (өзүң жасап көр)

Аралаш сан	Чечим	Жооп
\(3\frac{1}{4}\)	\(1:4=0,25\)	\(3,25\)
\(7\frac{2}{5}\)	\(2:5=0,4\)	\(7,4\)
\(2\frac{5}{6}\)	\(5:6=0,8333\ldots\)	\(2,8(3)\)

Акыркысында бөлүү бүтпөйт — мындай учурда мезгилдүү ондук бөлчөк чыгат, жазабыз \(2,8(3)\).

Кайсы кадам түшүнүксүз бойдон калОоба, туура түшүндүңүз. \(\frac{83}{100}\) — бул жөнөкөй бөлчөк (аралаш сан эмес), анда бүтүн бөлүгү жок. Ошондуктан алымын бөлүмүнө бөлөбүз:

\[ 83:100=0,83 \]

Ыкчам ыкма: 100гө бөлүү — үтүрдү эки орунга солго жылдыруу:

\[ 83 = 83,00 \;\rightarrow\; 0,83 \]

Ошол эле эреже менен: \(5:10=0,5\); \(7:100=0,07\); \(250:100=2,5\).

Салыштырууга кайтабыз:

\[ 8,3 \;>\; 0,83 \]

Себеби бүтүн бөлүктөрү: \(8 > 0\) — ушундан эле белгилүү.

Эскертүү: аралаш санда башкача болот — анда бүтүн бөлүгүн өзгөртпөй жазып, бөлчөк бөлүгүн гана бөлөбүз: \(8\frac{3}{100}=8+0,03=8,03\). Муну менен \(8,3\) менен чаташтырба: \(8,3\) дегени \(8\frac{3}{10}\), ал эми \(8,03\) дегени \(8\frac{3}{100}\).

Ооба, дал ушундай: \(\frac{83}{100}\) дегенде 83тү 100гө бөлөбүз.

\[ 83:100=0,83 \]

Ыкчам жолу: үтүрдү эки орунга солго жылдырабыз → \(83 \to 0,83\).

Демек салыштырууда:

\[ 8,3 > \frac{83}{100} \]

Себеби \(8,3\) — сегиз бүтүн, ал эми \(0,83\) — бирден кичине.

Кайсы жери түшүнүксүз болуп жатат — бөлүүнүн өзүбү, же эмне үчүн \(8,3\) чоң болуп чыгаарыбы? Айтсаң, ошону кадам-кадамы менен ачам.

Түшүнүктүү, анда сом менен элестетип көрөлү — ошондо баары жеңил болот. 🙂

1) \(\frac{83}{100}\) деген эмне?

\(100\) тыйын = \(1\) сом. Демек \(\frac{83}{100}\) сом = 83 тыйын.

Ондук менен жазсак: \(83:100=0,83\).

2) \(8,3\) деген эмне?

Бул 8 сом 30 тыйын.

3) Эми салыштырабыз:

• \(8,3\) → 8 сом 30 тыйын
• \(0,83\) → 83 тыйын (бир сомго да жетпейт)

8 сом 30 тыйын явно көп. Демек:

\[ 8,3 > 0,83 \]

Эреже: салыштырганда эң алгач бүтүн бөлүгүн карайбыз. \(8,3\)дө бүтүн бөлүгү \(8\), ал эми \(0,83\)тө \(0\). \(8 > 0\) — ошондон эле жооп белгилүү, калганын карабайбыз.

Кайсы жери оор: \(\frac{83}{100}\)ны ондукка айландыруубу, же салыштыруунун өзүбү?

Себеби биз \(\frac95\) бөлчөгүнүн бөлүмүн \(10\) кылгыбыз келет — анткени бөлүмү \(10\) болгон бөлчөк ондук болуп оңой жазылат.

1-кадам. Бөлүмү \(5\), бизге \(10\) керек. \(5 \cdot 2 = 10\) — демек 2ге көбөйтөбүз.

2-кадам. Бөлчөктүн мааниси өзгөрбөшү үчүн, алымын да, бөлүмүн да ошол эле 2ге көбөйтөбүз:

\[ \frac{9}{5}=\frac{9\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{18}{10} \]

Ошондуктан \(9\times 2\) пайда болот — бул «алымын да 2ге көбөйт» дегендик.

3-кадам. \(\frac{18}{10}=18:10=1,8\)

Эреже: бөлчөктүн алымын жана бөлүмүн бир эле санга көбөйтсөк (же бөлсөк), бөлчөктүн мааниси өзгөрбөйт. \(\frac95\) менен \(\frac{18}{10}\) — бир эле сан, жөн гана түрү башка.

Текшерүү: \(\frac95 = 9:5 = 1,8\) ✓ — көбөйтүүсүз эле бөлсөк да ушундай чыгат. Көбөйтүү — жөн гана ыкчам жол.

Башка мисал: \(\frac{7}{4}\) → \(4 \cdot 25 = 100\), демек \(\frac{7\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{175}{100}=1,75\).

Ооба, туура! Бул — аралаш санды туура эмес бөлчөккө айландыруу эрежеси:

\[ a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c} \]

Биздин мисалда \(a=1,\ b=1,\ c=10\):

\[ 1\frac{1}{10}=\frac{1\cdot 10+1}{10}=\frac{11}{10} \]

Андан кийин \(\frac{11}{10}=11:10=1,1\).

Эмне үчүн \(1\times10\) керек? 1 бүтүн — бул \(\frac{10}{10}\) (он ондук үлүш). Ага дагы \(\frac{1}{10}\) кошсобуз, \(\frac{11}{10}\) болот. Ошондуктан «бүтүндү бөлүмгө көбөйтүп, алымын кошобуз».

Эскертүү: бул жол менен да, мурунку жол менен да жооп бирдей чыгат:

• \(1\frac{1}{10}=1+0,1=1,1\)
• \(1\frac{1}{10}=\frac{11}{10}=1,1\)

Кайсы ыңгайлуу — ошону колдонсоң болот. Аралаш санды ондукка айландырууда экинчи жол (бүтүн + бөлчөк бөлүгү) көбүнчө тезирээк.

Ооба, дал ошондой: \(1\times10+1=11\) — бул алымы болот, ал эми бөлүмү \(10\) бойдон калат:

\[ 1\frac{1}{10}=\frac{1\cdot 10+1}{10}=\frac{11}{10} \]

Андан кийин бөлөбүз:

\[ \frac{11}{10}=11:10=1,1 \]

Жооп: \(1\frac{1}{10}=1,1\)

Көп кетирилүүчү ката: \(\frac{11}{10}\) көрүп «\(1,11\)» деп жазба. Үтүрдөн кийинки орундар бөлүүнүн натыйжасы, алымды көчүрүү эмес. \(\frac{11}{10}\) — бул \(1\) бүтүн жана дагы \(\frac{1}{10}=0,1\), демек \(1,1\).

Текшерүү: \(1,1=1\frac{1}{10}\) ✓ (үтүрдөн кийин бир орун — бөлүмү 10).

Эми ушуну өзүң башынан жасап көр: \(2\frac{3}{10}\) жана \(3\frac{7}{10}\). Эреже: бүтүндү 10го көбөйт + алым. Жооптору: \(2,3\) жана \(3,7\).

Ооба, туура — \(1,1 > 0,67\). ✅

Кантип салыштырдык:

1-кадам. Бүтүн бөлүктөрү: \(1,1\) → бүтүн бөлүгү \(1\) \(0,67\) → бүтүн бөлүгү \(0\)

\(1 > 0\), демек \(1,1\) чоң. Мына ушундан эле жооп белгилүү — ондук үлүштөрдү карабайбыз.

Эмне үчүн башкача сезилиши мүмкүн: \(0,67\)дө үтүрдөн кийин эки цифра бар, \(1,1\)де бир цифра. Бирок цифралардын саны маанилүү эмес — сандын чоңдугу маанилүү. Сом менен элестетсек:

• \(1,1\) = 1 сом 10 тыйын
• \(0,67\) = 67 тыйын

1 сом 10 тыйын көп. 🙂

Эгер бүтүн бөлүктөрү барабар болсо, анда ондук үлүштөрүн салыштырабыз. Мисалы: \(2,4\) жана \(2,37\) → бүтүндөрү тең (2), ондук үлүшү \(4 > 3\), демек \(2,4 > 2,37\). (Бул жерде да «\(2,37\)дө цифра көп» деп алданып калбоо керек.)

Демек в) пунктундагы жообубуз туура:

\[ 1\frac{1}{10}=1,1 > 0,67 \]

\[ 25:4=6,25 \]

Кантип бөлүнөт:

1. \(25:4\) → 4тү 6га көбөйтсөк \(24\), калдыгы \(1\). Демек бүтүн бөлүгү \(6\).
2. Калдык \(1\) калды. Ага нөл жазып, ондук үлүшкө өтөбүз: \(10:4=2\) (анткени \(4\cdot2=8\)), калдыгы \(2\).
3. Дагы нөл жазабыз: \(20:4=5\), калдыгы \(0\). Бөлүү бүттү.

\[ 25:4=6,25 \]

Текшерүү: \(6,25\cdot4=25\) ✓

Бул биздин д) пунктубуз үчүн керек болчу:

\[ \frac{25}{4}=6,25 \]

Демек \(4,13 < 6,25\), башкача айтканда

\[ 4,13<\frac{25}{4} \]

Ыкчам ыкма: бөлүмү \(4\) болгондо \(\frac{1}{4}=0,25\). Демек \(\frac{25}{4}=25\cdot\frac14=25\cdot0,25=6,25\).

е) пункту: \(\frac{66}{20}\) жана \(3,1\)

1-жол — кыскартуу менен:

\[ \frac{66}{20}=\frac{66:2}{20:2}=\frac{33}{10}=3,3 \]

(Бөлүмү \(10\) болду — демек ондукка оңой жазылат: \(33:10=3,3\)).

2-жол — түз бөлүү менен:

\(66:20\) → \(20\cdot3=60\), калдык \(6\) → бүтүн бөлүгү \(3\); \(60:20=3\)… тагыраак айтканда калдык \(6\)га нөл жазып \(60:20=3\) → \(3,3\).

Салыштыруу:

\[ 3,3>3,1 \]

Бүтүн бөлүктөрү тең (\(3=3\)), ошондуктан ондук үлүштөрүн салыштырабыз: \(3>1\). Демек

\[ \frac{66}{20}>3,1 \]

Текшерүү: \(3,3\cdot20=66\) ✓

Эскертүү: бул жерде да «\(66\)ны көчүрүп \(3,66\)» деп жазба — \(\frac{66}{20}\) бул \(3\) бүтүн жана \(\frac{6}{20}=0,3\), демек \(3,3\).

Эми сен өзүң жасап көр: \(\frac{45}{20}\) жана \(2,2\). Жообу: \(\frac{45}{20}=2,25>2,2\).

Кыска жооп: 2ге бөлөбүз, анткени бизге бөлүмү \(10\) болгон бөлчөк керек, ал эми \(20:2=10\).

Кененирээк

Бизде \(\frac{66}{20}\) бар. Бөлүмү \(20\) — ондук бөлчөккө айландыруу үчүн бөлүмү \(10\), \(100\), \(1000\) болгону ыңгайлуу.

\[ 20:2=10 \]

Демек бөлүмдү 2ге бөлсөк, \(10\) болот. Бирок бөлчөктүн мааниси өзгөрбөшү үчүн алымын да так ошол эле 2ге бөлөбүз:

\[ \frac{66}{20}=\frac{66:2}{20:2}=\frac{33}{10}=3,3 \]

Эреже

Бөлчөктүн алымын да, бөлүмүн да бир эле санга бөлсөк (же көбөйтсөк), бөлчөктүн мааниси өзгөрбөйт:

\[ \frac{66}{20}=\frac{33}{10} \]

Бул — бир эле сандын эки түрдө жазылышы. Сом менен текшерип көр: \(\frac{66}{20}\) = 66 тыйынды 20 бөлүккө бөлгөндөгү бир бөлүк; \(\frac{33}{10}\) = 33 тыйынды 10 бөлүккө бөлгөндөгү бир бөлүк. Экөө тең \(3,3\).

Башка жол да бар

Бөлүмдү \(100\) кылгыбыз келсе, \(20\cdot5=100\), анда алымын да 5ке көбөйтөбүз:

\[ \frac{66}{20}=\frac{66\cdot5}{20\cdot5}=\frac{330}{100}=3,3 \]

Жооп ошол эле. Кайсы жол ыңгайлуу болсо, ошону колдонсоң болот. 🙂

Эмне үчүн дал 2?

Анткени \(66\) да, \(20\) да жуп сандар — экөө тең 2ге бүтүн бөлүнөт. Ал эми \(20\)-ны \(10\) кылуу үчүн дал 2ге бөлүү керек. Мына ошондуктан.

Жок, баарын 2ге бөлбөйбүз. Санды ар бир мисалда бөлүмгө жараша тандайбыз: бөлүмдү \(10\), \(100\) же \(1000\) кыла турган санды табабыз.

Биздин мисалдарда эмне кылдык

Пункт	Бөлчөк	Бөлүмү	Эмне кылдык	Жооп
а	\(\frac{83}{100}\)	100	эч нерсе — бөлүмү даяр	\(0,83\)
б	\(\frac95\)	5	\(\times2\) (5·2=10)	\(1,8\)
в	\(1\frac{1}{10}\)	10	эч нерсе — бөлүмү даяр	\(1,1\)
г	\(\frac{13}{4}\)	4	\(\times25\) (4·25=100)	\(3,25\)
д	\(\frac{25}{4}\)	4	\(\times25\) же түз бөлүү	\(6,25\)
е	\(\frac{66}{20}\)	20	\(:2\) (20:2=10)	\(3,3\)

Демек 2 саны — \(\frac95\) менен \(\frac{66}{20}\)да гана керек болду, анткени \(5\cdot2=10\) жана \(20:2=10\). Ал эми \(4\) бөлүмүн 2ге бөлсөк \(2\) болот — \(10\) болбойт, ошондуктан ал жерде 25 керек.

Эреже

1. Бөлүмдү кара: ал \(10\), \(100\), \(1000\)бы?
2. Жок болсо, бөлүмдү \(10\), \(100\), \(1000\) кыла турган санды тап.
3. Ошол эле санга алымын да көбөйт (же бөл).

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k} \]

Эң оңой жол (эч нерсе тандабай эле)

Жөн гана алымын бөлүмүнө бөл — дайыма туура чыгат:

\[ \frac{66}{20}=66:20=3,3 \qquad \frac{13}{4}=13:4=3,25 \qquad \frac95=9:5=1,8 \]

Бөлүмдү \(10\), \(100\)гө айландыруу — бул жөн гана ыкчам жолу, милдеттүү эмес.

Эскертүү

Ар бир бөлүмдү \(10\), \(100\) кыла албайбыз. Мисалы \(\frac13\), \(\frac52\)... тагыраак айтканда \(\frac13=0,(3)\) — бөлүү бүтпөйт. Мындай учурда мезгилдүү ондук бөлчөк чыгат.

Суроо: кайсы пунктту өзүң жасап көрүп, жообун текшергиң келет?