Номер 61
Кратко: нужно начертить неразвёрнутый угол \(MON\), отметить \(P\) внутри угла, \(Q\) — вне его, а затем построить четыре перпендикуляра: через \(P\) к \(OM\) и к \(ON\), через \(Q\) к \(OM\) и к \(ON\).
Как построить:
- Начертите угол \(MON\) — любой, но меньше \(180^\circ\). Внутри поставьте точку \(P\), снаружи — точку \(Q\).
- Приложите угольник одной стороной прямого угла к прямой \(OM\). Перемещайте его вдоль \(OM\), пока вторая сторона не пройдёт через точку \(P\).
- По этой второй стороне проведите прямую. Это и есть перпендикуляр из \(P\) к \(OM\).
- Так же постройте перпендикуляр из \(P\) к \(ON\).
- Повторите построение для точки \(Q\): сначала к \(OM\), затем к \(ON\). Линейкой удобно продлить нужную прямую, если угольник не достаёт.
Почему это работает: угольник — это готовый прямой угол. Когда одна его сторона совпадает с данной прямой, а другая проходит через точку, проведённая линия образует с данной прямой угол \(90^\circ\), то есть является перпендикуляром.
Проверка: приложите угольник к каждой паре «построенная прямая — сторона угла»: должен получиться прямой угол. Если перпендикуляр к \(OM\) из \(Q\) пересекает не сам луч, а его продолжение, это нормально: в задании сказано «к прямым \(OM\) и \(ON\)».
Обсуждение
5 сообщенийсделай фото правильного рисунка
номер 66
Фотографию прикрепить не могу, но по рисунку 52 решение такое.
По рисунку луч \(OD\) проходит внутри угла \(COB\), поэтому
\[ \angle COB=\angle COD+\angle BOD. \]
По условию \(\angle BOD=\angle COD\), значит:
\[ 148^\circ=2\angle BOD \]
\[ \angle BOD=74^\circ. \]
Углы \(AOD\) и \(BOD\) — смежные, так как \(A,O,B\) лежат на одной прямой:
\[ \angle AOD=180^\circ-\angle BOD=180^\circ-74^\circ=106^\circ. \]
Ответ: \(\angle AOD=106^\circ\).
Номер 73
Ответ: нет, не могут.
Если \(AP\perp a\) и \(AQ\perp a\), то обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой \(a\). Значит, они должны быть параллельны друг другу.
Но прямые \(AP\) и \(AQ\) пересекаются в точке \(A\) — вершине угла. Параллельные прямые пересекаться не могут. Остаётся только вариант, что \(AP\) и \(AQ\) совпадают, но тогда угол \(A\) перестаёт быть углом: его стороны лежат на одной прямой. А точки \(P\) и \(Q\) различны, поэтому это невозможно.
Следовательно, обе прямые \(AP\) и \(AQ\) одновременно перпендикулярными к \(a\) быть не могут.
