Реши задание на изображении
Краткий ответ:
\[
\sqrt[6]{4^5\cdot 5^{12}}\cdot \sqrt[6]{4^7\cdot 5}
=400\sqrt[6]{5}
\]
Как решать:
Корни имеют одинаковый индекс \(6\), поэтому их можно объединить: \[ \sqrt[6]{a}\cdot\sqrt[6]{b}=\sqrt[6]{ab} \] Получаем: \[ \sqrt[6]{4^5\cdot5^{12}\cdot4^7\cdot5} =\sqrt[6]{4^{12}\cdot5^{13}} \]
Выделяем степени, кратные \(6\): \[ 4^{12}=(4^2)^6,\qquad 5^{13}=5^{12}\cdot5=(5^2)^6\cdot5 \]
Извлекаем корень: \[ \sqrt[6]{(4^2)^6(5^2)^6\cdot5} =4^2\cdot5^2\cdot\sqrt[6]{5} =16\cdot25\cdot\sqrt[6]{5} =400\sqrt[6]{5} \]
Проверка:
\[
\left(400\sqrt[6]{5}\right)^6
=400^6\cdot5
=(4^2\cdot5^2)^6\cdot5
=4^{12}\cdot5^{12}\cdot5
=4^{12}\cdot5^{13}
\]
Это совпадает с подкоренным выражением. Значит, ответ верный.
Обсуждение
2 сообщенияКак записать в тетрадь?
В тетрадь можно записать так:
\[ \sqrt[6]{4^5\cdot5^{12}}\cdot\sqrt[6]{4^7\cdot5} =\sqrt[6]{4^5\cdot5^{12}\cdot4^7\cdot5} =\sqrt[6]{4^{12}\cdot5^{13}} \]
\[ =\sqrt[6]{(4^2)^6\cdot(5^2)^6\cdot5} =4^2\cdot5^2\cdot\sqrt[6]{5} \]
\[ =16\cdot25\cdot\sqrt[6]{5} =400\sqrt[6]{5} \]
Ответ: \(\boxed{400\sqrt[6]{5}}\)
