Реши уравнение √x² − 5x-14= √3x-2 нерациональное уравнение
Ответ:
\[
x=4+2\sqrt7
\]
если уравнение записано так:
\[
\sqrt{x^2-5x-14}=\sqrt{3x-2}.
\]
Как решать
Обе части — квадратные корни, значит, они неотрицательны. Возводим обе части в квадрат: \[ x^2-5x-14=3x-2. \]
Переносим всё влево: \[ x^2-8x-12=0. \]
Находим дискриминант: \[ D=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-12)=64+48=112. \] \[ \sqrt D=\sqrt{112}=4\sqrt7. \]
Корни: \[ x=\frac{8\pm4\sqrt7}{2}=4\pm2\sqrt7. \]
Проверяем корни по ОДЗ.
\[ x=4-2\sqrt7\approx-1{,}29 \] При таком \(x\) выражение \(3x-2\) отрицательно, а под корнем не может быть отрицательного числа. Значит, этот корень не подходит.
\[ x=4+2\sqrt7\approx9{,}29 \] Тогда \(3x-2>0\), оба подкоренных выражения положительны, равенство выполняется.
Ответ:
\[
\boxed{x=4+2\sqrt7}
\]
Главный принцип: при возведении в квадрат нужно обязательно проверять корни или ОДЗ, потому что могут появиться лишние решения. Если корень в исходной записи стоял не над всем выражением, напиши уравнение со скобками.
