Реши задание на изображении
Кратко: \(4\).
\[ \log_2 7-\log_2\frac{7}{16} =\log_2\left(7:\frac{7}{16}\right) =\log_2 16 =\log_2 2^4=4. \]
Почему так работает: разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:
\[ \log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}. \]
Здесь основания одинаковые — \(2\), аргументы положительные, значит, правило применимо.
Проверка:
\[
\log_2\frac{7}{16}=\log_2 7-\log_2 16,
\]
поэтому
\[
\log_2 7-\left(\log_2 7-\log_2 16\right)=\log_2 16=4.
\]
Главное — не вычитать сами логарифмы и не путать правило с \(\frac{\log_2 7}{\log_2(7/16)}\).
Обсуждение
2 сообщенияКак записать в тетрадь более подробно
Вот так можно оформить решение в тетради подробно:
Задание. Вычислить:
\[ \log_2 7-\log_2\frac{7}{16} \]
Решение.
Используем формулу разности логарифмов с одинаковыми основаниями:
\[ \log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}, \]
где \(a>0,\ a\ne1,\ b>0,\ c>0\).
В данном примере \(a=2,\ b=7,\ c=\dfrac{7}{16}\), поэтому:
\[ \log_2 7-\log_2\frac{7}{16} = \log_2\frac{7}{\frac{7}{16}} \]
Упростим дробь:
\[ \frac{7}{\frac{7}{16}} =7\cdot\frac{16}{7} =16 \]
Тогда:
\[ \log_2\frac{7}{\frac{7}{16}} =\log_2 16 \]
Так как
\[ 16=2^4, \]
получаем:
\[ \log_2 16=\log_2 2^4=4 \]
Ответ: \(4\).
Можно добавить проверку:
\[ \log_2 16=4, \quad\text{так как}\quad 2^4=16. \]
А ещё стоит запомнить: здесь нельзя вычитать аргументы, то есть нельзя писать
\[ \log_2 7-\log_2\frac{7}{16} =\log_2\left(7-\frac{7}{16}\right). \]
Это неверно: при разности логарифмов аргументы делятся.
