Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.\]Как решать: два способа
Способ 1. Через дискриминант (универсальный)
Выписываем коэффициенты: \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.\]\(D>0\), значит корней два:
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}.\] \[x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2.\]Способ 2. По теореме Виета (быстрее, если \(a=1\))
Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\):
\[x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6.\]Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. Отсюда сразу разложение:
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.\]Проверка
- \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
- \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔
Принцип, который стоит запомнить
- Приводим уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\) и выписываем \(a\), \(b\), \(c\) с их знаками — тут частая ошибка: \(b=-5\), а не \(5\).
- Считаем \(D=b^2-4ac\): если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
- Подставляем в формулу корней, аккуратно с двойным минусом: \(-b=5\).
- Если \(a=1\) и корни «красивые», Виета экономит время: сумма \(=5\), произведение \(=6\).
- Всегда подставляем корни обратно — это ловит ошибки в знаках.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Похоже, непонятно вот что: x — это не какая-то новая буква из формулы, а просто «то число, которое мы ищем». Уравнение — это вопрос, замаскированный под запись.
Что вообще означает запись \(x^2-5x+6=0\)
Читается так: «найди такое число, что если подставить его вместо \(x\), то получится ровно 0».
То есть \(x\) — это пустая клетка. Проверим подстановкой:
- вместо \(x\) ставим 1: \(1-5+6=2 \ne 0\) — не подходит;
- ставим 2: \(4-10+6=0\) — подходит! Значит, \(x=2\) — решение;
- ставим 3: \(9-15+6=0\) — тоже подходит.
Всё, что делают оба способа, — это находят такие числа без перебора.
Где \(x\) в первом способе
В дискриминанте \(x\) вообще нет:
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=1.\]\(D\) — это просто вспомогательное число, по которому видно, сколько ответов будет.
А в записи
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]\(x\) слева означает «ответ». Формула — это готовый рецепт: подставь \(a\), \(b\), \(D\) — получишь искомое число. Значок \(\pm\) даёт сразу два варианта: с плюсом и с минусом.
\[x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2.\]Где \(x\) в теореме Виета
Тут смущает, наверное, запись \(x_1\) и \(x_2\). Нижние индексы — не степень и не умножение, это просто номера: «первый корень», «второй корень». Как «яблоко №1» и «яблоко №2».
\[x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6\]означает: «два числа, которые мы ищем, в сумме дают 5, а в произведении 6». Подошли 2 и 3. Это те же ответы, что и в первом способе, — просто полученные быстрее.
Итог одной фразой
\(x\) везде — одно и то же: неизвестное число из условия. В дискриминанте его нет, в формуле корней он стоит слева как «ответ», а в записи Виета \(x_1\) и \(x_2\) — это два ответа с номерами.
Проверь себя: подставь \(x=2\) в исходное уравнение и посчитай, получится ли 0. Если хочешь, покажу, откуда берётся сама формула корней (её выводят выделением полного квадрата) — тогда станет видно, почему в ней именно \(\sqrt{D}\) и \(2a\).
