54 задача

Вот схема к задаче 54 (не в масштабе):

                  A
                   \
                    \
                     \  ∠AOB = 81°
                      \
                       B
                      / \
             ∠BOC = 27° \
                    /     \
                   O-------C

          Весь угол: ∠AOC = 108°

Как нарисовать:

1. Проведи из точки \(O\) два луча \(OA\) и \(OC\) так, чтобы \(\angle AOC=108^\circ\).
2. Внутри угла проведи луч \(OB\).
3. Отметь \(\angle AOB=81^\circ\), а \(\angle BOC=27^\circ\).

Проверка: \(81^\circ+27^\circ=108^\circ\).

Готово. Длины лучей в задаче не заданы, поэтому беру \(OA=OB=OC=8\) см — тогда масштаб углов точный:
\(OA\) — вправо, \(OB\) — под \(81^\circ\), \(OC\) — под \(108^\circ\) к \(OA\).

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="520" height="380" viewBox="0 0 520 380">
  <rect width="520" height="380" fill="white"/>

  <!-- лучи -->
  <line x1="150" y1="320" x2="370" y2="320" stroke="#1f4e79" stroke-width="3"/>
  <line x1="150" y1="320" x2="184.4" y2="102.7" stroke="#1f4e79" stroke-width="3"/>
  <line x1="150" y1="320" x2="82.0" y2="110.8" stroke="#1f4e79" stroke-width="3"/>

  <!-- дуги углов -->
  <path d="M250,320 A100,100 0 0 0 165.6,221.2" fill="none" stroke="#e06666" stroke-width="2.5"/>
  <path d="M170.3,191.6 A130,130 0 0 0 109.8,196.4" fill="none" stroke="#6aa84f" stroke-width="2.5"/>
  <path d="M215,320 A65,65 0 0 0 129.9,258.2" fill="none" stroke="#999" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5 4"/>

  <!-- точки -->
  <circle cx="150" cy="320" r="4.5" fill="#222"/>
  <circle cx="370" cy="320" r="4.5" fill="#222"/>
  <circle cx="184.4" cy="102.7" r="4.5" fill="#222"/>
  <circle cx="82.0" cy="110.8" r="4.5" fill="#222"/>

  <!-- подписи -->
  <text x="137" y="348" font-family="Arial" font-size="20">O</text>
  <text x="380" y="327" font-family="Arial" font-size="20">A</text>
  <text x="190" y="92" font-family="Arial" font-size="20">B</text>
  <text x="50" y="105" font-family="Arial" font-size="20">C</text>

  <text x="230" y="260" font-family="Arial" font-size="18" fill="#cc0000" text-anchor="middle">81°</text>
  <text x="142" y="224" font-family="Arial" font-size="18" fill="#38761d" text-anchor="middle">27°</text>
  <text x="360" y="360" font-family="Arial" font-size="16" fill="#666">∠AOC = 108°</text>
</svg>

Если чертить в тетради в клетку: \(1\) клетка \(=1\) см, ось \(y\) направлена вверх.

\[ O(0;0),\quad A(8;0), \] \[ B(8\cos81^\circ;\,8\sin81^\circ)\approx(1{,}25;7{,}90), \] \[ C(8\cos108^\circ;\,8\sin108^\circ)\approx(-2{,}47;7{,}61). \]

Соедини \(O\) с \(A,B,C\). Тогда:

\[ \angle AOB=81^\circ,\qquad \angle BOC=27^\circ, \] \[ \angle AOC=81^\circ+27^\circ=108^\circ. \]

Проверка условия: \(81^\circ=3\cdot27^\circ\).

Вот рисунок к задаче 54. Углы построены точно; для наглядности взято \(OA=OB=OC=8\) см.

O A B C

Понял: оформляю в формате Дано — Найти — Решение с подробными пояснениями.

Задача 54

Дано:

• \(\angle AOC = 108^\circ\);
• луч \(OB\) проходит внутри угла \(AOC\);
• \(\angle AOB\) в 3 раза больше \(\angle BOC\).

Найти:

• \(\angle AOB\);
• \(\angle BOC\) (для проверки).

Решение:

1. Обозначим меньший угол через \(x\):

\[ \angle BOC = x \]

2. По условию угол \(AOB\) в 3 раза больше угла \(BOC\), значит:

\[ \angle AOB = 3x \]

3. Луч \(OB\) проходит внутри угла \(AOC\), поэтому он делит угол \(AOC\) на две части — \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\). Значит, целый угол равен сумме этих частей:

\[ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \]

4. Подставим известные значения:

\[ 108^\circ = 3x + x \]

5. Приведём подобные слагаемые:

\[ 108^\circ = 4x \]

6. Найдём \(x\):

\[ x = 108^\circ : 4 = 27^\circ \]

Значит,

\[ \angle BOC = 27^\circ \]

7. Найдём искомый угол:

\[ \angle AOB = 3x = 3 \cdot 27^\circ = 81^\circ \]

Проверка:

\[ \angle AOB + \angle BOC = 81^\circ + 27^\circ = 108^\circ = \angle AOC \]

Сумма совпала с данным углом, значит, решение верное. Также:

\[ 81^\circ = 3 \cdot 27^\circ \]

условие «в 3 раза больше» тоже выполняется.

Ответ: \(\angle AOB = 81^\circ\), \(\angle BOC = 27^\circ\).

Спасибо! Рад, что помог разобраться 🙂

Если будет ещё задача — присылай, оформлю также: Дано — Найти — Решение с проверкой.