Реши задание на изображении

Краткий ответ

Все четыре уравнения сводятся к виду \(y=\pm k|x-a|+b\) — это «галочки» с вершиной в точке \((a;\,b)\):

а) \(y=3-|x|\) — вершина \((0;3)\), ветви вниз, через \((-3;0)\) и \((3;0)\). б) \(y=|x-1|\) — вершина \((1;0)\), ветви вверх, через \((0;1)\) и \((2;1)\). в) \(y=\dfrac{|x|}{2}-1\) — вершина \((0;-1)\), ветви вверх, через \((-2;0)\) и \((2;0)\). г) \(y=\dfrac{2}{3}|x-3|\) — вершина \((3;0)\), ветви вверх, через \((0;2)\) и \((6;2)\).

Как это получается

Главное правило: \(|t|=t\) при \(t\ge 0\) и \(|t|=-t\) при \(t<0\). Поэтому график \(y=|x-a|\) — это уголок с вершиной в \((a;0)\): правее \(a\) идёт прямая \(y=x-a\) (наклон \(1\)), левее — прямая \(y=-(x-a)\) (наклон \(-1\)).

а) \(y+|x|-3=0 \Rightarrow y=3-|x|\). Минус перед модулем переворачивает уголок ветвями вниз; «\(+3\)» поднимает вершину на 3. Проверка вершины: \(3+0-3=0\) ✓.

б) \(y-|x-1|=0 \Rightarrow y=|x-1|\). Модуль от \(x-1\) сдвигает вершину на 1 вправо. Проверка: \(0-|1-1|=0\) ✓.

в) \(2-|x|+2y=0 \Rightarrow 2y=|x|-2 \Rightarrow y=\dfrac{|x|}{2}-1\). Множитель \(\frac12\) делает ветви более пологими (наклон \(\pm\frac12\)), «\(-1\)» опускает вершину. Проверка: \(2-0+2\cdot(-1)=0\) ✓.

г) \(3y-|2x-6|=0\). Сначала вынесем 2: \(|2x-6|=2|x-3|\), тогда \(3y=2|x-3|\), то есть \(y=\dfrac23|x-3|\). Вершина сдвинута на 3 вправо, ветви подняты в \(\frac23\) раза круче/положе (наклон \(\pm\frac23\)). Проверка: \(3\cdot 0-|2\cdot 3-6|=0\) ✓.

Как строить самому

1. Приведи уравнение к виду \(y=\dots\) (вырази \(y\)).
2. Найди вершину: выражение под модулем равно нулю.
3. Возьми по одной-две точки слева и справа от вершины (удобно \(x=a\pm 1\), \(x=a\pm 2\)).
4. Соедини точки двумя лучами — получится уголок.

Например, для г): вершина \((3;0)\); при \(x=1\): \(y=\frac23\cdot2=\frac43\); при \(x=5\): \(y=\frac43\) — ветви симметричны относительно прямой \(x=3\).