Как записать в тетрадь

Судя по фото, в тетрадь нужно записать выражение:

\[ \left(\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{9+4\sqrt5}\right)^2 \]

Краткий ответ: \(16\).

Как решать

1. Заметим, что под корнями стоят полные квадраты:

\[ 9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2 \]

\[ 9+4\sqrt5=(\sqrt5+2)^2 \]

2. Извлекаем корни. Важно: \(\sqrt{x^2}=|x|\).

\[ \sqrt{9-4\sqrt5}=|\sqrt5-2|=\sqrt5-2 \]

так как \(\sqrt5>2\), а значит, \(\sqrt5-2>0\).

\[ \sqrt{9+4\sqrt5}=|\sqrt5+2|=\sqrt5+2 \]

3. Подставляем в исходное выражение:

\[ \left((\sqrt5-2)-(\sqrt5+2)\right)^2 \]

\[ =(-4)^2=16 \]

Ответ: \(16\).

Проверка: \(\sqrt{9-4\sqrt5}\approx0{,}236\), \(\sqrt{9+4\sqrt5}\approx4{,}236\). Их разность равна \(-4\), а квадрат разности равен \(16\).

Главная идея для похожих заданий: искать под корнем формулу квадрата суммы или разности.