Номер 64

Краткий ответ:
а) \(S=6\); б) \(S=9\).

Как решать

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужен знаменатель \(q\), причём \(|q|<1\). Тогда сумма всех её членов:

\[ S=\frac{b_1}{1-q}. \]

а) \(2,\ \frac43,\ \frac89,\ldots\)

Первый член:

\[ b_1=2. \]

Знаменатель:

\[ q=\frac{\frac43}{2}=\frac{2}{3}. \]

Так как \(\left|\frac23\right|<1\), прогрессия бесконечно убывает. Сумма:

\[ S=\frac{2}{1-\frac23} =\frac{2}{\frac13} =6. \]

б) \(3,\ 2,\ \frac43,\ldots\)

Первый член:

\[ b_1=3. \]

Знаменатель:

\[ q=\frac{2}{3}. \]

Сумма:

\[ S=\frac{3}{1-\frac23} =\frac{3}{\frac13} =9. \]

Проверка: в обоих случаях \(\frac23<1\), поэтому члены прогрессии стремятся к нулю, и сумма конечна.

Ответ: а) \(6\); б) \(9\).