Реши 67

Краткий ответ

67. а) \(\dfrac{x-4}{x+4}\), где \(x\ne \pm 4\);

б) \(\dfrac{a+8}{8-a}\), или \(-\dfrac{a+8}{a-8}\), где \(a\ne 8\).

Как решать

а)
\[ \frac{x^2}{x^2-16}-\frac{8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x^2-8(x-2)}{x^2-16} \] \[ =\frac{x^2-8x+16}{x^2-16} = \frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)} = \frac{x-4}{x+4}. \]

Знаменатель не должен быть нулём: \(x^2-16\ne0\), поэтому \(x\ne -4\) и \(x\ne 4\).

б)
Важно:
\[ (8-a)^2=(a-8)^2. \] Поэтому знаменатели одинаковые: \[ \frac{64-2ab}{(a-8)^2}+\frac{2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-2ab+2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-a^2}{(a-8)^2}. \] Далее: \[ 64-a^2=(8-a)(8+a), \] а \[ (a-8)^2=(8-a)^2. \] Значит: \[ \frac{(8-a)(8+a)}{(8-a)^2} = \frac{8+a}{8-a}. \]

Обязательное условие: \(a\ne8\).

Проверка: при \(a=0\) исходное выражение равно \(1\), и \(\frac{8+0}{8-0}=1\). Верно.