Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- а) \(\operatorname{НОД}(975;750)=75\); б) \(\operatorname{НОД}(80;140;56)=4\).
- а) \(\operatorname{НОК}(22;55)=110\); б) \(\operatorname{НОК}(40;50)=200\).
Как это получается
- Раскладываем числа на простые множители.
- Для НОД берём только общие простые множители — каждый в наименьшей степени.
- Для НОК берём все встречающиеся простые множители — каждый в наибольшей степени.
1. а) \(975\) и \(750\) \[ 975=3\cdot5^2\cdot13,\qquad 750=2\cdot3\cdot5^3 \] Общие множители: \(3\) и \(5^2\). \[ \operatorname{НОД}=3\cdot5^2=75 \] Проверка: \[ 975:75=13,\qquad 750:75=10 \]
1. б) \(80,\ 140,\ 56\) \[ 80=2^4\cdot5,\qquad 140=2^2\cdot5\cdot7,\qquad 56=2^3\cdot7 \] Общий для всех трёх чисел множитель — только \(2\) в степени \(2\): \[ \operatorname{НОД}=2^2=4 \] Проверка: \[ 80:4=20,\quad 140:4=35,\quad 56:4=14 \]
2. а) \(22\) и \(55\) \[ 22=2\cdot11,\qquad 55=5\cdot11 \] Берём все простые множители в наибольших степенях: \[ \operatorname{НОК}=2\cdot5\cdot11=110 \] Проверка: \[ 110:22=5,\qquad 110:55=2 \]
2. б) \(40\) и \(50\) \[ 40=2^3\cdot5,\qquad 50=2\cdot5^2 \] \[ \operatorname{НОК}=2^3\cdot5^2=8\cdot25=200 \] Проверка: \[ 200:40=5,\qquad 200:50=4 \]
Обсуждение
4 сообщенияС разложение
Вот подробно, с разложением на простые множители.
1. а) НОД(975; 750)
\[ 975=3\cdot 5^2\cdot 13 \] Проверка: \(3\cdot25\cdot13=975\).
\[ 750=2\cdot3\cdot5^3 \] Проверка: \(2\cdot3\cdot125=750\).
В обоих разложениях есть только общие множители \(3\) и \(5^2\). Для НОД берём каждый общий множитель в наименьшей степени:
\[ \text{НОД}=3\cdot5^2=3\cdot25=75 \]
Ответ: 75.
1. б) НОД(80; 140; 56)
\[ 80=2^4\cdot5 \] \[ 140=2^2\cdot5\cdot7 \] \[ 56=2^3\cdot7 \]
Общий для всех трёх чисел множитель только \(2\), причём в наименьшей степени это \(2^2\).
Число \(5\) есть не у всех, число \(7\) тоже есть не у всех, поэтому их не берём.
\[ \text{НОД}=2^2=4 \]
Ответ: 4.
2. а) НОК(22; 55)
\[ 22=2\cdot11 \] \[ 55=5\cdot11 \]
Для НОК берём все простые множители в наибольшей степени:
\[ \text{НОК}=2\cdot5\cdot11=110 \]
Ответ: 110.
2. б) НОК(40; 50)
\[ 40=2^3\cdot5 \] \[ 50=2\cdot5^2 \]
Берём все множители в наибольшей степени:
\[ \text{НОК}=2^3\cdot5^2=8\cdot25=200 \]
Ответ: 200.
Итог
а) \(\operatorname{НОД}(975;750)=75\)
б) \(\operatorname{НОД}(80;140;56)=4\)а) \(\operatorname{НОК}(22;55)=110\)
б) \(\operatorname{НОК}(40;50)=200\)
Правило: для НОД берём общие простые множители в наименьших степенях, а для НОК — все простые множители в наибольших степенях.
В столбик
Записываю разложение в столбик — делением на простые числа до \(1\).
1. а) НОД(975; 750)
975 | 3
325 | 5
65 | 5
13 | 13
1 |
750 | 2
375 | 3
125 | 5
25 | 5
5 | 5
1 |
\[ 975=3\cdot5\cdot5\cdot13 \] \[ 750=2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5 \]
Общие множители: \[ 3\cdot5\cdot5=75 \]
НОД(975; 750) = 75
1. б) НОД(80; 140; 56)
80 | 2 140 | 2 56 | 2
40 | 2 70 | 2 28 | 2
20 | 2 35 | 5 14 | 2
10 | 2 7 | 7 7 | 7
5 | 5 1 | 1 |
1 |
Получаем:
\[ 80=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5 \] \[ 140=2\cdot2\cdot5\cdot7 \] \[ 56=2\cdot2\cdot2\cdot7 \]
Общий множитель есть у всех трёх чисел — только две двойки:
\[ 2\cdot2=4 \]
НОД(80; 140; 56) = 4
2. а) НОК(22; 55)
22 | 2 55 | 5
11 | 11 11 | 11
1 | 1 |
\[ 22=2\cdot11 \] \[ 55=5\cdot11 \]
Для НОК берём все множители в наибольшей степени:
\[ 2\cdot5\cdot11=110 \]
НОК(22; 55) = 110
2. б) НОК(40; 50)
40 | 2 50 | 2
20 | 2 25 | 5
10 | 2 5 | 5
5 | 5 1 |
1 |
\[ 40=2\cdot2\cdot2\cdot5 \] \[ 50=2\cdot5\cdot5 \]
Для НОК берём все множители в наибольшей степени:
\[ 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5=200 \]
НОК(40; 50) = 200
Ответ
\[ \begin{aligned} 1.\ &\text{а) НОД}(975;750)=75;\\ &\text{б) НОД}(80;140;56)=4;\\[4pt] 2.\ &\text{а) НОК}(22;55)=110;\\ &\text{б) НОК}(40;50)=200. \end{aligned} \]
