Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(2\).
В записи основание первого логарифма читаем как \(\sqrt[3]{5}\).
1. Приводим логарифмы к степеням простых чисел.
По свойству \(\log_{a^n} b^m=\dfrac{m}{n}\log_a b\):
\[ \log_{\sqrt[3]{5}} 3 =\frac{\log_5 3}{1/3} =3\log_5 3, \]
\[ \log_9 16=\log_{3^2}2^4 =\frac{4}{2}\log_3 2 =2\log_3 2, \]
\[ \log_{64}25=\log_{2^6}5^2 =\frac{2}{6}\log_2 5 =\frac13\log_2 5. \]
2. Перемножаем полученные выражения:
\[ 3\log_5 3\cdot 2\log_3 2\cdot \frac13\log_2 5 = 2\left(\log_5 3\cdot \log_3 2\cdot \log_2 5\right). \]
3. Сокращаем «цепочку» логарифмов.
Используем правило
\[ \log_a b\cdot \log_b c=\log_a c. \]
Тогда
\[ \log_5 3\cdot \log_3 2=\log_5 2, \]
а
\[ \log_5 2\cdot \log_2 5=\log_5 5=1. \]
Значит всё произведение равно
\[ 2\cdot 1=2. \]
Ответ: \(2\).
Принцип: степени из оснований и аргументов выносятся коэффициентами, после чего логарифмы с «перекрёстными» основаниями сокращаются.
Обсуждение
2 сообщенияКак записать в тетрадь
В тетрадь можно записать так:
\[ \log_{\sqrt[3]{5}}3\cdot \log_9 16\cdot \log_{64}25 \]
Решение:
\[ \log_{\sqrt[3]{5}}3=\frac{\log_5 3}{\frac13}=3\log_5 3 \]
\[ \log_9 16=\log_{3^2}2^4=\frac42\log_3 2=2\log_3 2 \]
\[ \log_{64}25=\log_{2^6}5^2=\frac26\log_2 5=\frac13\log_2 5 \]
Тогда:
\[ 3\log_5 3\cdot 2\log_3 2\cdot \frac13\log_2 5= \]
\[ =2\left(\log_5 3\cdot \log_3 2\cdot \log_2 5\right)= \]
\[ =2\log_5 5=2\cdot 1=2 \]
Ответ: \(2\).
Можно короче записать переход:
\[ \log_5 3\cdot \log_3 2\cdot \log_2 5 =\log_5 5=1. \]
