Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(\boxed{\dfrac{2}{3}}\).
Скорее всего, в знаменателе записано \(\log_6 25\) (если там \(50\), решение будет другим — уточни).
Используем свойства логарифмов: \[ k\log_b c=\log_b(c^k),\qquad \log_b x-\log_b y=\log_b\frac{x}{y}. \]
1. Числитель. Раскладываем числа: \[ \log_7 14=\log_7(7\cdot2)=1+\log_7 2, \] \[ \log_7 56=\log_7(7\cdot8)=1+\log_7 8=1+3\log_7 2. \] Тогда \[ \log_7 14-\frac13\log_7 56 =1+\log_7 2-\frac13(1+3\log_7 2) \] \[ =1+\log_7 2-\frac13-\log_7 2 =\frac23. \]
2. Знаменатель. \[ \log_6 30-\frac12\log_6 25 =\log_6 30-\log_6 5 =\log_6\frac{30}{5} =\log_6 6=1. \]
3. Делим: \[ \frac{\frac23}{1}=\frac23. \]
Проверка через степени:
\[
\frac{14}{\sqrt[3]{56}}=7^{2/3},
\qquad
\frac{30}{\sqrt{25}}=6.
\]
Поэтому числитель равен \(\log_7 7^{2/3}=\frac23\), а знаменатель равен \(\log_6 6=1\). Всё сходится.
Обсуждение
4 сообщенияТам 50
Спасибо, исправляю: в знаменателе \(\log_6 50\), поэтому прежний ответ \(\frac23\) уже не подходит.
\[ \frac{\log_7 14-\frac13\log_7 56}{\log_6 30-\frac12\log_6 50} \]
Числитель: \[ \log_7 14=\log_7(7\cdot2)=1+\log_7 2, \] \[ \log_7 56=\log_7(7\cdot8)=1+3\log_7 2. \] Тогда \[ 1+\log_7 2-\frac13(1+3\log_7 2) =\frac23. \]
Знаменатель: \[ \log_6 30-\frac12\log_6 50 =\log_6 30-\log_6\sqrt{50} =\log_6\frac{30}{\sqrt{50}}. \] Так как \(\sqrt{50}=5\sqrt2\), \[ \frac{30}{5\sqrt2}=\frac6{\sqrt2}=3\sqrt2. \] Значит, \[ \log_6\frac{30}{\sqrt{50}}=\log_6(3\sqrt2) =\frac12\log_6 18. \]
Ответ: \[ \boxed{\frac{\frac23}{\log_6(3\sqrt2)} =\frac{4}{3\log_6 18}} \] или приближённо \[ \boxed{\approx 0{,}827}. \]
Если в учебнике ожидается «красивый» целый ответ, возможно, в задании опечатка: при \(\log_6 25\) получалось ровно \(\frac23\).
Как записать в тетрадь?
Можно записать так:
Решение.
\[ \log_7 14=1+\log_7 2, \qquad \log_7 56=1+3\log_7 2. \]
\[ \log_7 14-\frac13\log_7 56 =1+\log_7 2-\frac13(1+3\log_7 2) =\frac23. \]
Для знаменателя:
\[ \log_6 30-\frac12\log_6 50 =\log_6 30-\log_6\sqrt{50} =\log_6\frac{30}{\sqrt{50}}. \]
Так как \(\sqrt{50}=5\sqrt2\), то
\[ \frac{30}{\sqrt{50}}=\frac{30}{5\sqrt2}=\frac6{\sqrt2}=3\sqrt2. \]
Значит,
\[ \log_6 30-\frac12\log_6 50=\log_6(3\sqrt2). \]
Тогда исходное выражение равно
\[ \frac{\frac23}{\log_6(3\sqrt2)} = \frac{2}{3\log_6(3\sqrt2)}. \]
Так как \(\log_6(3\sqrt2)=\frac12\log_6 18\), получаем:
\[ \boxed{\frac{4}{3\log_6 18}} \]
или
\[ \boxed{\frac{2}{3\log_6(3\sqrt2)}}. \]
Приближённо:
\[ \boxed{\approx 0{,}83}. \]
