Реши

Краткий ответ

а) \(\sqrt{100}>\sqrt{81}\);
б) \(\sqrt{100}<\sqrt{121}\);
в) \(\sqrt4<3\);
г) \(\frac15<\sqrt{0{,}25}\);
д) \(2>\sqrt{\frac9{16}}\);
е) \(\frac15<\sqrt{\frac4{49}}\);
ж) \(\sqrt{0{,}09}<\sqrt{\frac4{25}}\);
з) \(\sqrt{2\frac14}>\sqrt{\frac{64}{49}}\);
и) \(\sqrt{\frac14}>\frac14\).

Главная идея

Квадратный корень (арифметический, то есть неотрицательный) — возрастающая функция: если \(0\le A<B\), то \(\sqrt A<\sqrt B\). Поэтому:

• корни сравниваем по подкоренным выражениям;
• обычное неотрицательное число \(c\) можно записать как \(\sqrt{c^2}\);
• дроби и смешанные числа сначала переводим в удобный вид;
• можно сравнивать квадраты чисел, потому что оба числа неотрицательны.

Разбор

а) \(100>81\), значит \(\sqrt{100}>\sqrt{81}\).

б) \(100<121\), значит \(\sqrt{100}<\sqrt{121}\).

в) \(3=\sqrt9\), а \(4<9\), поэтому \(\sqrt4<3\).

г) \(\frac15=0{,}2\), \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\), значит \(\frac15<\sqrt{0{,}25}\).

д) \(\sqrt{\frac9{16}}=\frac34=0{,}75\), а \(2>0{,}75\).

е) \(\frac15=0{,}2\), \(\sqrt{\frac4{49}}=\frac27\approx0{,}286\), значит \(\frac15<\sqrt{\frac4{49}}\).

ж) \(0{,}09=\frac9{100}\), \(\frac4{25}=\frac{16}{100}\), а \(9<16\), поэтому \(\sqrt{0{,}09}<\sqrt{\frac4{25}}\).

з) \(2\frac14=\frac94\), \(\sqrt{\frac94}=\frac32=1{,}5\), а \(\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac87\approx1{,}14\). Значит, \(\sqrt{2\frac14}>\sqrt{\frac{64}{49}}\).

и) \(\sqrt{\frac14}=\frac12\), а \(\frac12>\frac14\).

Проверка

Все числа неотрицательны, поэтому при возведении в квадрат знак сравнения не меняется. Например, в пункте е): \(\left(\frac15\right)^2=\frac1{25}=0{,}04\), а \(\left(\sqrt{\frac4{49}}\right)^2=\frac4{49}\approx0{,}0816\); \(0{,}04<0{,}0816\), ответ тот же.