Гномы хранят самоцветы в квадратной стене, разделённой на одинаковые квадратные ячейки. 7 самоцветов лежат в своих ячейках в одиночестве. Ещё 12 самоцветов делят ячейку с одним соседом. 9 самоцветов делят ячейку с двумя. 20 —- с тремя. Другого количества соседей ни у у одного самоцвета нет. Найдите наименьшее возможное количество пустых ячеек.
Краткий ответ: 4 пустые ячейки.
Как рассуждать
Пусть \(a_k\) — число занятых ячеек, в которых лежит ровно \(k\) самоцветов.
Если в ячейке \(k\) самоцветов, то каждый из них «делит» её с \(k-1\) соседом. Поэтому число таких самоцветов равно \(k\cdot a_k\).
В одиночестве — 7 самоцветов, значит: \[ 1\cdot a_1=7 \Rightarrow a_1=7. \]
С одним соседом — 12 самоцветов; это ячейки по 2 самоцвета: \[ 2a_2=12 \Rightarrow a_2=6. \]
С двумя соседями — 9 самоцветов; это ячейки по 3: \[ 3a_3=9 \Rightarrow a_3=3. \]
С тремя соседями — 20 самоцветов; это ячейки по 4: \[ 4a_4=20 \Rightarrow a_4=5. \]
Всего занятых ячеек: \[ a_1+a_2+a_3+a_4=7+6+3+5=21. \]
Стена квадратная, пусть в ней \(n\times n\) ячеек. Нужно, чтобы поместились все 21 занятая ячейка: \[ n^2 \ge 21. \] При \(n=4\) всего \(16\) ячеек — мало. Значит, минимально возможная стена: \[ 5\times 5=25 \text{ ячеек}. \]
Тогда пустых ячеек: \[ 25-21=4. \]
Ответ: \(\boxed{4}\) пустые ячейки.
Обсуждение
1 сообщениеГном ложится спать в полвторого, спит ровно три часа, просыпается и смотрит на часы. Часы идут правильно. Найдите угол между стрелками, который он видит, просыпаясь.
