Реши задание на изображении
Кратко:
\[
x=\frac{a^2}{b^3},
\]
при \(a>0,\ b>0\) (тогда автоматически \(x>0\)).
Как решать:
Запишем условие: \[ \log_5 x=2\log_5 a-3\log_5 b. \]
ОДЗ логарифмов: \[ x>0,\quad a>0,\quad b>0. \]
Вынесенный коэффициент становится степенью: \[ 2\log_5 a=\log_5 a^2,\qquad 3\log_5 b=\log_5 b^3. \]
Поэтому: \[ \log_5 x=\log_5 a^2-\log_5 b^3. \]
- Используем свойство разности логарифмов: \[ \log_5 a^2-\log_5 b^3 =\log_5\frac{a^2}{b^3}. \]
Получаем: \[ \log_5 x=\log_5\frac{a^2}{b^3}. \]
- Так как логарифмы равны и основания одинаковые, равны и их аргументы: \[ x=\frac{a^2}{b^3}. \]
Проверка: \[ \log_5\frac{a^2}{b^3} =\log_5 a^2-\log_5 b^3 =2\log_5 a-3\log_5 b. \] Всё сходится.
Главный принцип: коэффициент перед логарифмом можно записать как показатель степени аргумента, а разность логарифмов — как логарифм частного.
Обсуждение
2 сообщенияКак написать в тетрадь
В тетрадь можно записать так:
Задание. Найти \(x\), если
\[
\log_5 x=2\log_5 a-3\log_5 b.
\]
Решение.
ОДЗ: \(x>0,\ a>0,\ b>0\).
\[ \log_5 x=\log_5 a^2-\log_5 b^3 \]
\[ \log_5 x=\log_5\frac{a^2}{b^3} \]
Так как основания логарифмов одинаковые, то:
\[ x=\frac{a^2}{b^3} \]
Ответ: \(\displaystyle x=\frac{a^2}{b^3}\), где \(a>0,\ b>0\).
Если в самом задании уже указано, что \(a>0\) и \(b>0\), отдельно писать ОДЗ не обязательно — достаточно решения и ответа.
